精品解析：2024届广东省大湾区高三下学期联合模拟考试（二）数学试题（解析版）.docxVIP

2024届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（二）

数学

本卷共6页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．

2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.集合的真子集的个数为（）

A.3 B.4 C.7 D.8

【答案】A

【解析】

【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数.

【详解】，共有两个元素，

故其真子集的个数为.

故选：A.

2.的展开式中，的系数为（）

A. B.10 C. D.40

【答案】C

【解析】

【分析】利用二项展开式的通项，求指定项的系数.

【详解】展开式的通项为，，

所以的系数为．

故选：C

3.某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求出即可.

【详解】设圆台的母线长为l，高为h，

因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，母线，

因此圆台的高为，

所以圆台体积为.

故选：A

4.已知正实数满足，则（）

A.1 B. C.4 D.1或

【答案】B

【解析】

【分析】利用对数运算法则化简等式，列出关于的方程求解即得.

【详解】由，得，因此，

整理得，解得，即，经检验符合题意，

所以.

故选：B

5.若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量夹角公式结合数量积公式计算求解.

【详解】设向量与的夹角为θ.

由，左右两边平方得,得.

由，得，从而.

故选:B.

6.（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用切化弦的思想，结合诱导公式及二倍角的正余弦公式计算得解.

【详解】

.

故选：D

7.拋掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若与独立，则的值为（）

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出，，，根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.

【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，则基本事件总数为，

事件“n次中至多有一次反面朝上”，则n次全部正面朝上或n次中恰有1次反面朝上，

则，事件“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，则，于是，

因为A与B独立，所以，即，

分别代入，3，4，5，验证，可得符合题意

故选：B

8.法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（）

A. B.26 C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求出椭圆C的蒙日圆方程，求出M在第一象限的顶点P的坐标，设出过P且与椭圆C相切的直线方程，与椭圆联立，再利用点到直线距离公式即可求解.

【详解】依题意，直线，都与椭圆，且它们围成四边形是矩形，

于是该矩形是椭圆的蒙日圆内接矩形，因此该蒙日圆的圆心为，半径，

因此该椭圆蒙日圆方程为，

M为椭圆的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P、Q、、，

其中P在第一象限，显然P与关于原点对称，Q与关于原点对称，

而P点纵坐标为2，则其横坐标为3，即，显然M的四条边所在直线斜率存在且不为0，

设过P且与椭圆C相切的直线为，由消去y并整理，

得，由，

化简得，解得或，不妨取直线PQ方程为，即，

直线的方程为，即，

O点到直线PQ的距离为，O点到直线的距离为，

所以M的面积为.

故选：C

【点睛】关键点点睛：根据蒙日圆的定义求出蒙日圆的方程，并求出第一象限内的点是解决问题的关键.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，