数值分析数值计算与误差分析.ppt

*X255=xx2x4x8x16x32x64x128*要计算N+1个行列式，每一个需要n!(n-1)次乘法，计算N+1个行列式共需要(n+1)n!(n-1)次乘法,计算全部的xi需要(n+1)n!(n-1)次乘法，n次除法，总计算量为N=[(n2-1)n!+n]flop。n=20,N=9.707?1020flop,换算为时间，设在10亿（109)次/每秒的计算机上工作，则需9.707?1011秒，一天为24×3600=86400秒，一年为86400×365秒，9.707?1011秒÷86400×365秒=30781年（3万多年）。显然方法不可行；但若改用gauss消元法，只需3060flop,即使在一台小型机上，也可在一秒中内完成。*在109flop/秒(每秒10亿次）计算机上计算，T=9.707?1011秒=3万多年。*1计算机数系不同于我们熟悉的实数系2在数值计算中，经常将实数表示成浮点形式*在计算机中，通常使用二进制机器数系*在计算机中，通常使用二进制机器数系*以上错误,是因为计算机计算时做加减法要“对阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差.为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以把某些算式改写成另一种等价的形式.以上错误,是因为计算机计算时做加减法要“对阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差.为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以把某些算式改写成另一种等价的形式.*算法2中，第一式的分子中的两项总是同号的，避免相近数相减。(3)防止接近零的数做除数分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的误差,此时可以用数学公式化简后再做.四、数值运算中的误差估计

3.数值计算中值得注意的问题第48页,共79页，星期六，2024年，5月(4)注意计算步骤的简化,减小运算次数简化计算步骤是提高程序执行速度的关键，它不仅可以节省时间，还能减少舍入误差。例4：设A、B、C、D分别是10?20、20?50、50?1、1?100的矩阵，试按不同的算法求矩阵乘积E=ABCD.解：由矩阵乘法的结合律，可有如下算法1.E=((AB)C)D.计算量N=11500flop2.E=A(B(CD)).计算量N=125000flop3.E=(A(BC))D.计算量N=2200flop第49页,共79页，星期六，2024年，5月误差的定性分析法：即研究算法的数值稳定性。误差的定量分析法：定义：一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。五、算法的数值稳定性第50页,共79页，星期六，2024年，5月第51页,共79页，星期六，2024年，5月此算法是不稳定的第52页,共79页，星期六，2024年，5月第53页,共79页，星期六，2024年，5月第54页,共79页，星期六，2024年，5月无条件稳定与条件稳定对任何输入数据都是稳定的算法称为无条件稳定。对某些数据稳定，而对另一些数据不稳定的算法称为条件稳定。第55页,共79页，星期六，2024年，5月例3在F(10,4,-19,19)数系中，求解二次方程：解法1按求根公式解得，x1=0.3199×103,x2=0.1000×10;解法2解得x1=0.3199×103x2=0.5002×10-1精确解为x1=319.950x2=0.0500078b24ac第56页,共79页，星期六，2024年，5月对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态问题。六、病态问题与条件数第57页,共79页，星期六，2024年，5月第58页,共79页，星期六，2024年，5月第59页,共79页，星期六，2024年，5月条件数第60页,共79页，星期六，2024年，5月推导计算函数值的条件数第61页,共79页，星期六，2024年，5月第62页,共79页，星期六，2024年，5月一、几种常用的数学软件第三节数学软件工具目前流行的数学软件主要有以下几种：符号运算软件：Mathematica,Maple矩阵处理软件：Matlab统