专题04基本不等式思维导图知识清单核心素养分析方法归纳原卷版.pdfVIP

专题04基本不等式

目录

01思维导图

02知识清单

03核心素养分析

04方法归纳

一、基本不等式

＋

1．基本不等式：≤

2

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立

＋

(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数

2

2.基本不等式的证明

（1）.代数证法

ab

要证ab，只要证2abab①

2

要证①，只要证2abab0②

2

要证②，只要证（ab）0③

2

要证③，只要证（ab）0④

显然④成立，当且仅当ab时，④中的等号成立.

（2）.几何证法

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.可

证△ACD~△DCB,因而CD=√ab.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为显然，当

且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.

例已知a,b,c都是正数，证明：

证明：

二、几个重要不等式

1．几个重要的不等式

22

(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)

(2)＋≥2(a，b同号)

＋

(3)ab≤(2)2(a，b∈R)

2＋2＋

(4)2≥(2)2(a，b∈R)

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

三、最值定理

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.

1

2

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S.

4

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”

ab

理解基本不等式ab(a,b0)。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小

2

值的问题。利用基本不等式求最值是高考的重点内容，在选择题、填空题中常常出现。重点提升数学抽象、

逻辑推理和数学运算素养.

一、利用基本不等式求最值方法

方法1配凑法

3

例1(1)(2022·长沙模拟)设0x，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为()