数学分析课件二重积分概念 (2).ppt

的平顶柱体的体积,这个平顶柱体的高等于在D中某点处的函数值*例1设是中有界闭域,是上可积函数.则存在顶点在上的折线,使得第31页,共31页，星期六，2024年，5月返回后页前页数学分析课件二重积分概念一、平面图形的面积我们首先定义平面图形的面积.所谓一个平面图形P是有界的,是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集,即存在一矩形R,使得设P是一平面有界图形,用平行于二坐标轴的某一组直线网T分割这个图形(图21-1),这时直线网T的网眼(小闭矩形)可分为三类:(i)上的点都是P的内点;(ii)上的点都是P的外点,即第2页,共31页，星期六，2024年，5月(iii)上含有P的边界点.将所有属于第(i)类小矩形(图21-1中紫色部分)的面积加起来,记这个和数为里表示包含P的那个矩形R的面积);将所有第(i)类与第(ii)类小矩形的面积加起来(图21-1中着色部分),记这个和数为则有则有(这第3页,共31页，星期六，2024年，5月由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网,显然有通常称为P的内面积,为P的外面积.定义1若平面图形P满足=,则称P为可求面积的图形,并把共同值作为P的面积.定理21.1平面有界图形P可求面积的充要条件是:数集有上确界,有下确界.记第4页,共31页，星期六，2024年，5月对任给的总存在直线网T,使得证必要性设有界图形P的面积为.由定义1,有由及的定义知道,分别存在直线网与使得记T为由与这两个直线网合并所成的直线网,可证得第5页,共31页，星期六，2024年，5月于是由(3)可得从而对直线网T有充分性设对任给的存在某直线网T,使得但所以第6页,共31页，星期六，2024年，5月由的任意性,得因而平面图形P可求面积.推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积即对任给的存在直线网T,使得或对任给的平面图形P能被有限个面积总和小于的小矩形所覆盖.第7页,共31页，星期六，2024年，5月定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是:P的边界K的面积为零.证由定理21.1,P可求面积的充要条件是:对任给的存在直线网T,使得由于所以也有由上述推论,P的边界K的面积为零.定理21.3若曲线K为定义在上的连续函数的图象,则曲线K的面积为零.第8页,共31页，星期六，2024年，5月证由于在闭区间上连续,所以它在上一致连续.因而,当，时,可使在每个小区间上的振幅都成高的小矩形所覆盖.由于这n个小矩形面积的总和立即若把曲线K按分成n个小段,则每一小段都能被以为宽,为第9页,共31页，星期六，2024年，5月因此由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零.推论1参量方程所表示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零.证由光滑曲线的定义，均存在且不同时为零.由隐函数存在性定理,(或因此(或)在上有反函数.再由有限覆盖定理,可把区间第10页,共31页，星期六，2024年，5月使得在每一段上，(或)存在上的曲线面积为零,从而整个曲线面积为零.推论2由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面图形都是可求面积的.分成n段:(或,于是在上反函数(或所以在有连续的第11页,共31页，星期六，2024年，5月注平面中并非所有的点集都是可求面积的.例如易知因此是不可求面积的.第12页,共31页，星期六，2024年，5月二、二重积分的定义及其存在性二重积分的几何背景是求曲顶柱体的体