裂项相消法课件数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptxVIP

裂项相消法求和

数列求和---裂项相消法

数列求和常用方法—裂项相消法

例1

解：

所以数列的前n项的和为

注：在通项中进行裂项，对称剩项。

1.

数列求和常用方法—裂项相消法

裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，解题的关键就是准确裂项和消项.常见可裂项的通项形式为分式或根式的形式.

方法规律

裂项相消法求和的实质和解题关键

(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

数列求和常用方法—裂项相消法

数列求和常用方法—裂项相消法

变式2.证明

解：数列的通项

所以数列的前n项的和为

数列求和常用方法—裂项相消法

变式3.求，

所以数列的前n项的和为

数列

解：

数列求和常用方法—裂项相消法

变式4.数列{a,}是等差数列，设公差为，求

解：

3.若{a,}是公差为d(d≠0)等差数列，则

数列求和常用方法—裂项相消法

变式5数列{a.中，

.n

解：数列的通项

所以数列的前n项的和为

S=(√2-√1)+(√3-√2)+(√4-√3)+…+(Jn+1-√n)=√n+1-1.

(3)

(4),(5)

推论：{an}是公差为d的等差数列，则

例2.等差数列{an}满足a₃=8,a₇=16,记{an}的前n项和为Sn.

(1)求数列{an}的通项公式；

解：(1)设数列{an}的首项为a₁,公差为d,由已知得

求数列{bn}的前n项和Tn.

所以an=a₁+(n-1)d=2n+2.

解

数列求和常用方法—2.裂项相消法

例2.等差数列{an}满足a3=8,a7=16,记{an}的前n项和为Sn.

(2)令求数列{bn}的前n项和Tn.

巧裂项

消项求和

得结论

数列求和常用方法—2.裂项相消法

变式6.已知数列a,}是递增的等比数列且a₁+a₄=9,a₂a₃=8,

(1)求数列a,}的通项公式

(2)设S,是数列a,}的前n项和，,求{b,}的前n项和Tn.

解：(1)∵a₁+a₄=9,a₂a₃=a₁a₄=8,联立解或舍去)

设{a,}的公比为q,∴∴q=2.∴a=a₁q-¹=2-1.

数列求和常用方法—2.裂项相消法

变式6.已知数列a,}是递增的等比数列且a₁+a₄=9,a₂a₃=8,

(1)求数列a,}的通项公式

(2)设S,是数列a,}的前n项和，,求{b,}的前n项和Tn.

(法1(2)由(1)得

22)(2)由(1得

是等差数列，并求{a}的通项公式；an=3n-2,n∈N.

,求b}的前n项和T.

变式7.已知数列{a,}中，a=1,前n项和为S,

(1)证明：数列

(2)设

解：(2)由(1)知，

所以

方法

数列

求和公式

公式法

等差/比数列

适用于已知的等差数列或等比数列

分组求和法

等差±等比

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相加(减)

构成的数列求和

裂项相消法

积商化差

适用于通项公式可以积化差的数列求和

总结提升

1.数列{a,}的通项公式是,若前n项和为10,则项数n为120

2.已知数列{a,}为等差数列，且a₆=8,a₁₀=12.

(1)求数列{a}的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.

(1)an=n+2;(2)

3.【2022年新高考1卷17题改编】记S,为递增等差数列{a,}的前n项和，已知a₁=1,且a₂,a₄,a₈成等比数列.

当堂练习

(1)求Sn;

(2)证明：