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河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高二下学期第二次

月考（6月）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．抛物线的焦点为F，点M在C上，，则M到y轴的距离是（????）

A．4 B．8 C．10 D．12

2．如图，四棱锥S－ABCD的底面ABCD是菱形，且，AB＝AS＝1，则SC＝（????）

A．1 B． C． D．

3．设，随机变量的分布

0

1

则当在内增大时，（????）

A．增大，增大 B．增大，减小

C．减小，增大 D．减小，减小

4．已知变量x，y的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据下：

16

17

18

19

50

34

41

31

由上表可得线性回归方程，则c＝（）

A． B． C．109 D．

5．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（????）

A． B． C． D．

6．若过点可以作曲线的两条切线，则（????）

A． B．

C． D．

7．数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（????）

A． B． C． D．

8．若（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系是（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（????）

??

A．

B．平面

C．与平面所成夹角的正弦值为

D．平面与平面所成夹角的正弦值为

10．已知函数，则（????）

A．

B．当时，的极大值为，无极小值

C．当时，的极小值为，无极大值

D．当时，恒成立，的取值范围为

11．已知双曲线，、分别为双曲线的左、右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（????）．

A．当轴时，

B．双曲线的离心率

C．为定值

D．若为的内心，满足，则

三、填空题

12．已知数列满足，若为数列的前项和，则

13．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．

14．已知关于的不等式(其中)的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是

四、解答题

15．某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡，“年龄在20岁到34岁之间的会员”为1号会员，占比20%，“年龄在35岁到59岁之间的会员”为2号会员，占比，“年龄在60岁到80岁之间的会员”为3号会员，占比，现对会员进行水果质量满意度调查.根据调查结果得知，1号会员对水果质量满意的概率为号会员对水果质量满意的概率为号会员对水果质量满意的概率为.

(1)随机选取1名会员，求其对水果质量满意的概率;

(2)从会员中随机抽取2人，记抽取的2人中，对水果质量满意的人数为，求的分布列和数学期望.

16．如图，在斜三棱柱中，分别是的中点.

(1)证明:平面;

(2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值.

17．已知点为椭圆上任一点，椭圆的短轴长为，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若点是抛物线的准线上的任意一点，以为直径的圆过原点，试判断是否为定值?若是，请求出这个定值;若不是，请说明理由.

18．已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点，求实数的取值范围；

(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

19．在计算机科学中，维数组是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于维数组，，定义与的差为与之间的距离为．

(1)若维数组，证明：；

(2)证明：对任意的数组A，B，C，有；

(3)设集合中有个维数组，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明：．

参考答案：

1．B

2．B

3．D

4．D

5．A

6．B

7．D

8．A

9．BC

10．CD

11．BCD

12．77

13．

14．

15．(1)

(2)分布列见解析；

【分析】（1）由题意，根据全概率公式计算即可求解；

（2）由题意知，利用二项分布求出对应的概率，列出的分布列，求出数学期望即可.

【详解】（1）设事件：随机选取1名会员，其对水果质量满意.

则；

（2）的可能取值为，则，

，

，

，

所以的分布列为

0

1

2

所以.

16．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点E，连接OE，，可得四边形为平行四边形