初中数学自主招生难度讲义-7年级专题05数与形的第一次联姻（解析版）.docx

专题5数与形的第一次联姻

阅读与思考

数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：

1．利用数轴能形象地表示有理数；

2．利用数轴能直观地解释相反数；

3．利用数轴比较有理数的大小；

4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．

例题与求解

【例1】已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于_____________．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：确定A，B在数轴上的位置，求出A，B两点所表示的有理数．

【例2】在数轴上和有理数对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：

①，②，③，④，其中，正确的结论有（）个．

A．4B．3C．2D．1

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：从数轴上得到，再对代数式进行逐以一判断．

【例3】如图所示，已知数轴上点所对应的数都不为0，且是的中点．如果，试确定原点的大致位置．

解题思路：从化简等式入手，而是解题的关键．

【例4】（1）阅读下面材料：

点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为．当两点中有一点在原点时，

当A、B两点都不在原点时，

①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________；

②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么x为_________；

③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的x的取值范围是___________．

④求的最小值．

（江苏省南京市中考试题）

解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式所表示的意义，来回答所提出的具体问题．

【例5】某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？

（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求的最小值．

【例6】如图，是数轴上表示－30的点，是数轴上表示10的点，是数轴上表示18的点，点在数轴上同时向正方向运动．点运动的速度是6个单位长度/秒，点和点运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，线段AC＝6（单位长度）？

（2）t≠5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，求2PM－PN＝2时t的值．

（湖北省荆州市竞赛试题）

解题思路：（1）三点在数轴上同时向正方向运动，分别当点运动到点左侧和右侧两种情况来分析求解．

（2）先将三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M始终在点左侧，则分为“点在左边”，“点在之间”，“点在右边”三种情况来求解．

能力训练

A级

1．已知数轴上表示负数有理数的点是点，那么在数轴上与点相距个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．

（江苏省竞赛试题）

2．如果数轴上点到原点的距离为3，点到原点的距离为5，那么两点的距离为______________．

3．点分别是数，在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到的中点对应数3，则点对应的数是________________，点移动的距离是____________．

（“希望杯”邀请赛试题）

4．已知，且，那么有理数的大小关系是_________________________．（用“＜”号连接）

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

5．在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（）．

A．1998B．