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专题18简单的不定方程、方程组
阅读与思考
如果方程(组)中,未知数的个数多于方程的个数,那么解往往有无穷多个,不能唯一确定,这样的方程(组)称为不定方程(组).
对于不定方程(组),我们常常限定只求整数解,甚至只求正整数解.加上这类限制后,解可能唯一确定,或只有有限个,或无解.这类问题有以下两种基本类型:
1.判定不定方程(组)有无整数解或解的个数;
2.如果不定方程(组)有整数解,求出其全部整数解.
二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解.
解不定方程(组),没有固定的方法可循,需具体问题具体分析,经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法.根据方程(组)的特点进行适当变形,并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路.
例题与求解
【例1】满足(0<<<1998)的整数对(,)共有_______对.
(全国初中数学联赛试题)
解题思路:由方程特点,联想到平方差公式,利用因数分解来解答.
【例2】电影票有10元,15元,20元三种票价,班长用500元买了30张电影票,其中票价为20元的比票价为10元的多().
A.20张B.15张C.10张D.5张
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:设购买10元,15元,20元的电影票分别为,,张.根据题意列方程组,整体求出的-值.
【例3】某人家中的电话号码是八位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405,将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970,求此人家中的电话号码.
(湖北省武汉市竞赛试题)
解题思路:探索可否将条件用一个式子表示,从问题转换入手.
【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?
(重庆市竞赛试题)
解题思路:无论怎样取,盒子里的棋子数不变。恰当设未知数,把问题转化为求不定方程的正整数解.
【例5】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,丙组同学每
人有31个核桃,三组的核桃总数是365个.问:三个小组共有多少名同学?
(海峡两岸友谊赛试题)
解题思路:根据题意,列出三元一次不定方程,从运用放缩法求取值范围入手.
【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游,如果每辆车坐22人,就会余下1人;如果开走一辆空车,那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车.
问:原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)
解题思路:设原先租客车辆,开走一辆空车后,每辆车乘坐人,根据题意列出方程求解,注意排除不符合题设条件的解.
能力训练
A级
1.若,则=__________.
2.已知,(≠0),则的值等于________.
3.1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和,那么他的年龄是_________岁.
(“希望杯”邀请赛试题)
4.已知,,为整数,且,.若<,则的最大值为_____.
(全国初中数学竞赛试题)
5.,都是质数,则方程共有().
A.1组解B.2组解C.3组解D.4组解
(北京市竞赛试题)
6.如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔
4千米设一个速度限制标志,而且从10千米处开
始.每隔9千米设一个测速照相标志,则刚好在
19千米处同时设置这两种标志,问下一个同时设
置这两种标志的地点的千米数
是().
A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米
7.给出下列判断:
①不定方程的整数解可表示为(为整数).
②不定方程无整数解.
③不定方程无整数解.
其中正确的判断是().
A.①②B.②③C.①③D.①②③
8.小英在邮局买了10元的邮票,其中面值0.10元的邮票不少于2枚,面值O.20元的邮票不少于5枚,面值0.50元的邮票不少于3枚,面值2元的邮票不少于1枚,则小英最少买了()枚邮票.
A.17B.18C.19D.20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9.小孩将玻璃弹子装进两种盒子,每个大盒子装12颗,每个小盒子装5颗,若弹子共有99颗,所用大小盒子多于10个,问这两种盒子各有多少个?
10.中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡.问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?
(出自中国数学家张丘建的著作《算
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