专题3.5 直线与椭圆的位置关系-重难点题型精讲（教师版） .pdf

专题3.5直线与椭圆的位置关系.重难点题型精讲

按

名决务咨兰___

1.点与椭圆的位置关系

⑴点与椭圆的位置关系:

点在椭圆内点在椭圆上点在椭圆外

⑵对于点PGom)与椭圆的位置关系，有如下结论:

点尸(Xo，vo)在椭圆外亲■+芸1

点P(xo,No)在椭圆内弟+1

点P(xo,Vo)在椭圆上缶专+圭~=1.

2.直线与椭圆的位置关系

⑴直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.

(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：

△0。直线与椭圆相交—有两个公共点

△二0—直线与椭圆相切—有且只有一个公共点;

A0直线与椭圆相离无公共点.

3.弦长问题

（1）定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

（2）弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆令•+令二1（。对＞0）于尸i（xu）,尸2（工2,妇两点,

则成iRl=a/i-kP|xi一或l/Rl=J1£•|乃一处|•

4.“中点弦问题”

（1）解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根

与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中

点坐标和斜率的关系.

设刀（万必），3（工2,*2），代入椭圆方程亲+切=1（。对＞0），

①一②可得（羽+以）一以）+（乃+兑）5一乃）二o,

ab

设线段AB的中点为尸（xojo），当Xi右V2时，有若+=。.

因为尸（、0,此）为弦曷的中点，从而转化为中点尸（而,此）与直线的斜率之间的关系，这就是处理弦

中点轨迹问题的常用方法.

（2）弦的中点与直线的斜率的关系

线段是椭圆号+#=1色对＞0）的一条弦，当弦所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标

为（io,}7。）’则弦AB所在直线的斜率为-当邑,即kOM-kAB—-—y-

QJVoQ

5.椭圆中的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路：

（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是

几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示

为一个（或多个）变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以

及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.

【题型1判断直线与椭圆的位置关系】

【方法点拨】

结合体条件，根据直线与椭圆的三种位置关系，进行判断，即可得解.

【例1】1.（2022-全国•高二课时练习）已知2b=Qc,则直线ax+by+c=0与椭圆§+当=1的位置

关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.以上三种情况均有可能

22

【变式1-1】（2022-全国•高二课时练习）直线y=2x—1与椭圆§+=1的位置关系是（）

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A.相交B.相切C.相离D.不确定