第五讲 因式分解浙教版七年级数学下册（含答案）.docx

2025年

第五讲因式分解

知识梳理

多项式的因式分解是中学数学的一个重要知识，是代数恒等变形的基本形式之一。因式分解法方法活、技巧强、应用广。

1.因式分解的步骤及思路：

(1)先看是否有公因式，若有公因式，则先提取公因式。

(2)观察项数，选择方法。一般地：

二项：考虑平方差公式或奇次幂的和、差公式；

三项：完全平方公式或十字相乘法或拆项、添项法；

四项或以上：分组分解法或立方公式或三项完全平方式。

(3)以上方法均感困难，则可考虑用换元法、双十字相乘法、待定系数法、求根法、轮换对称法等来因式分解。

2.因式分解应注意的事项：

要在要求范围内(实数、有理数)分解到不能再分解为止。

3.应掌握的常用公式：

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补充几个重要公式：

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当a+b+c=0时,有a3+b3+c3=3abc,在计算或证明中常用。

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4.掌握常规的分组或添拆项的技巧，并结合常用公式进行因式分解。

【例1】已知a、b、c为三角形的三边，且(a2+b2+c2=ab+bc+ac,则三角形的形状是。

【变式训练1】已知a、b、c为△ABC的三边长,a2+5b2?4ab?2b+1=0,，且△ABC为等腰三角形，求△ABC的周长。

【变式训练2】已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断三角形ABC的形状。

【例2】若x2+23?mx+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为

【变式训练3】已知m、n是正整数，代数式x2+mx+10+n是一个完全平方式，则n的最小值是，此时m的值是

【变式训练4】已知二次三项式9x2?m+6

【例3】求方程2x2?2xy+2y2?4x?4y+6=0的整数解。

【变式训练5】求方程2xy?x?y?3=0的整数解。

【变式训练6】求不定方程x2?5xy+6y2?3x+5y?11=0的整数解。

【变式训练7】已知多项式x?+mx+n能分解为x2+px+qx2+2x?3,则p=

【变式训练8】因式分解；x3+x2y?xy2?y3。

【例5】若a为正整数，则a??3a2+9是合数，求a的取值范围。

【变式训练9】已知n是正整数，且n??16n2+100是质数，求n的值。

【变式训练10】已知n是正整数，.且n2+2n?24是质数,则n=。

【例6】先阅读下面的解法，然后解答问题。

例：已知多项式3x3?x2+m分解因式的结果中有一个因式是(3x+1)，求实数m。

解：设3x3?x2+m=3x+1

令(3x+1)=0,则x=?13,

这种方法叫特殊值法，请用特殊值法解决下列问题。

(1)若多项式x2+mx?8分解因式的结果中有一个因式为(x-2)，则实数m=；

(2)若多项式x3+3x2+5x+n分解因式的结果中有一个因式为(x+1)，求实数n的值；

(3)若多项式x?+mx3+nx?14分解因式的结果中有因式(x+1)和(x-2)，求m、n的值。

【变式训练11】问题：已知多项式x?+mx3+nx?16含有因式x?1和x?2,

解答：设.x?+mx3+nx?16=Ax?1

∴取x=1,得1+m+n?16=0①,

∴取x=2,得16+8m+2n?16=0②,

由①、②解得m=-5,n=20。

根据以上阅读材料解决下列问题：

(1)若多项式3x3+ax2?2含有因式(x-1)，求实数a的值；

(2)若多项式2x2+mxy+lny2?4x+2y含有因式(x+y-2),求实数m、n的值;

(3)如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数。请求出多项式x2?2?+2x1?1?+3除以一次因式(x+1)的余数。

【变式训练12】先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题。

已知多项式2x3?x2+m有一个因式是2x+1，求m的值。

解法一：设2x3?x2+m=x+m=2x+1x2+ax+b,

比较系数得2a+1=?1a+2b=0b=m

解法二：设2x3?x2+m=A2x+1

由于上式为恒等式，为方便计算取x=?12,2?

选择恰当的方法解答下列各题：

(1)已知多项式x2+mx?15有一个因式是x-3,m=;

(2)已知x?+mx3+nx?16有因式(x-1)和(x-2),求m、n的值;

(3)已知x2+2x+1是多项式x3?x2+ax+b的一个因式，求a、b的值，并将该多项式分解因式。

【例7】阅读下面内容并完成后面的练习：

因为x+1x+2=x2+3x+2,所以

因为x?1x?2=x2?3x+