柯西中值定理.ppt

返回后页前页柯西中值定理定理6.5(柯西中值定理)设函数,在区间上满足:(i)f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续;(iii)(iv)则在开区间内必定(至少)存在一点,使得一、柯西中值定理(ii)f(x),g(x)在开区间(a,b)上可导;第2页,共30页，星期六，2024年，5月几何意义首先将f,g这两个函数视为以x为参数的方程它在O-uv平面上表示一段曲线.由拉格朗日定理恰好等于曲线端点弦AB的斜率(见下图):的几何意义,存在一点(对应于参数)的导数第3页,共30页，星期六，2024年，5月第4页,共30页，星期六，2024年，5月证作辅助函数显然,满足罗尔定理的条件,所以存在点使得,即从而第5页,共30页，星期六，2024年，5月例1设函数f在区间[a,b](a0)上连续,在(a,b)证设,显然f(x),g(x)在[a,b]上满足柯西中值定理的条件,于是存在,使得变形后即得所需的等式.上可导,则存在,使得第6页,共30页，星期六，2024年，5月在极限的四则运算中,往往遇到分子,分母均为无二、不定式极限究这类极限,这种方法统称为洛必达法则.称为不定式极限.现在我们将用柯西中值定理来研比较复杂，各种结果均会发生.我们将这类极限统穷小量(无穷大量)的表达式.这种表达式的极限第7页,共30页，星期六，2024年，5月定理6.6则证第8页,共30页，星期六，2024年，5月注根据归结原理第9页,共30页，星期六，2024年，5月结论同样成立.例１解第10页,共30页，星期六，2024年，5月例2解存在性.第11页,共30页，星期六，2024年，5月这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的代换，其目的就是使得计算更简洁些.例3解法则.但若作适当变换,在计算上会显得更简洁些.第12页,共30页，星期六，2024年，5月例4解第13页,共30页，星期六，2024年，5月定理6.7则第14页,共30页，星期六，2024年，5月证从而有第15页,共30页，星期六，2024年，5月另一方面，上式的右边的第一个因子有界;第二个因子对固定第16页,共30页，星期六，2024年，5月这就证明了的x有第17页,共30页，星期六，2024年，5月注件要作相应的改变.例5解第18页,共30页，星期六，2024年，5月例6解例7解第19页,共30页，星期六，2024年，5月(3)式不成立.这就说明:我们再举一例:例8解因为第20页,共30页，星期六，2024年，5月所以A=1.若错误使用洛必达法则：这就产生了错误的结果.这说明:在使用洛必达法则前，必须首先要判别它究竟是否是3.其他类型的不定式极限第21页,共30页，星期六，2024年，5月解但若采用不同的转化方式:很明显,这样下去将越来越复杂,难以求出结果.例9第22页,共30页，星期六，2024年，5月解由于因此例10第23页,共30页，星期六，2024年，5月解例11第24页,共30页，星期六，2024年，5月所以，原式=e0=1.例12第25页,共30页，星期六，2024年，5月解第26页,共30页，星期六，2024年，5月例13解第27页,共30页，星期六，2024年，5月例14证先设A0.因为第28页,共30页，星期六，2024年，5月根据洛必达法则，有同样可证A0的情形.所以由本章第１节例４，得第29页,共30页，星期六，2024年，5月定理6.7中的条件是可以去掉的,为什么？由上面的讨论，得到复习思考题第30页,共30页，星期六，2024年，5月返回后页前页