人教A版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理.pptxVIP

1.2空间向量基本定理

复习引入

共线向量定理：

对空间任意两个向量a、bb≠0),a//b的充要条件是存在实数入，使a=λb.

共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y,使

p=xa+yb.

2

|U

如果e,,e₂是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有

一对实数λ,,λ2,使a=λ,e₁+λ₂e₂.

(e,、e,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.)

a=xi+yj

i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

复习引入

U

3

情境导学

我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不

共线的向量a,b来表示(平面向量基本定理),类似的任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c

来表示呢?

下面我们先从空间中三

个不共面的向量两两垂直

这一特殊情况开始讨论。

4

U

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因此，如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空

间向量p存在唯一有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk。

我们称xi,yj,zk分别为向量p在i,j,k上的分向量。

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唯一实数z,使得QP+zk,从而

OP=OQ+zk,

而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可

知，存在唯一的有序实数对(x,y),使得

0Q=xi+yj.

如图1.2-1,设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向

线段有公共起点O,对于任意一个空间向量p=OP,设0Q为OP在i,j所确定的平面上的投影向量，则OP=OQ+QP,又向量QP,k共线，因此存在

从而，OP=OQ+zk=xi+yj+zk.图1.2-1Q

IU

问题探究

在空间中，如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替

两两垂直的向量i,j,k,你能得出类似的结论吗?

类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理.

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向

量P,存在有序实数组{x,y,z}使p=xa+yb+zc.

注：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{PP=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个

集合可以看做是由向量a,b,c生成的.

故{a,b,c}叫做空间的一个基底.

a,b,c都叫做基向量U6

学习新知

特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：

(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.

(2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念.

(3)由于可视0为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.

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U

做一做

1.判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“X”.

(1)空间向量的基底是唯一的.(×)

(2)若a,b,c是空间向量的一个基底，则a,b,c均为非零向量.(√)

(3)已知A,B,M,N是空间四点，若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，则A,B,M,N共面.(√)

(4)若{a,b,c}是空间的一个基底，且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(√)

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U

以作为空间一个基底的向量组有(C)

A.1个B.2个C.3个D.4

解析：如图所示，令a=AB,b=AA₁,c=AD,

则x=AB₁,y=AD₁,

z=AC,a+b+c=AC₁.

由于A,B₁,C,D₁四点不共面，可知向量x,y,z也不共面，同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面，故选C.

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|U

做一做

2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底，给出下

列向量组：①{a,b,x},②{x