2025年中考数学几何模型归纳训练专题25相似模型之母子型（共边共角）模型解读与提分精练（全国版） .pdf

专题25相似模型之母子型（共边共角）模型

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其化很多,

是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解

模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

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模型1.“母子型,，模型（共边共角模型）

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【识储备】母子型相似证明题一般思路方法:

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等;

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形;

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等;

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“母子型,，模型（共边共角模型）

模型解读

“母子，，模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三

角形相似。

模型证明

图1图2图3图4

1）“母子”模型（斜射影模型）

条件：如图1,ZC=ZABD；结论：4ABDs/\ACB,AB2=ADAC.

证明：*：ZC=ZABDfZDAB=/BAC,:.AADB^ABAC,・..也=坐，:.AB2=ADAC.

ABBC

2）双垂直模型（射影模型）

条件：如图2,ZACB=90°,CD±AB；

结论：4ACDsMBCs△CBD；CA2=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB.

证明：VZACB=90°,CD±AB,:.ZA+ZACD=90°,ZA+ZB=90°,ZB^ZACD,

VZA=ZA,AACD^AABC,・.•匹=也，:.AC2=ADAB.同理可证：BC2=BDBA,CD2=DADB.

ABAC

3）“母子”模型（形）

条件：如图3,ZD=ZCAE,AB^AC；结论：NABD-4ECN,

证明：VAB=AC,ZABC=ZACB,:.ZDBA=ZACE,VZD=ZCAE,:.AABD^AECA

4）共边模型

条件：如图1,在四边形ABCD中，对角线8Q平分ZABC,ZADB=ZDCB,结论：BD2=BABC;

证明：•・•对角线切平分ZABC,:.ZABD=ZCBC,

*：ZADB=ZDCB,AADB^ADCB,・..坐=竺,:・B=BA・BC

DBBC

模型运用

例1.（2024-河北石家庄•二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，ZBAE=ZDAC,AB=9,

AD=12,则CE长为（）

A21c48

A・TB.3C.9D.——

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例2.（2023-湖北孝感•模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，艮点尸

是线段仙上-点（庭＞研，若满足矗哇，则称点尸是扇的黄金分割点.黄金分割在我们的数学学

习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36。的等腰三角形称为“黄金三角形”.

⑴应用：如图1,若点C