初中数学自主招生难度讲义-7年级专题02数的整除性（解析版）.docx

专题02 数的整除性

阅读与思考

设，是整数，≠0，如果一个整数使得等式=成立，那么称能被整除，或称整除，记作|，又称为的约数，而称为的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：

1．数的整除性常见特征：

①若整数的个位数是偶数，则2|；

②若整数的个位数是0或5，则5|；

③若整数的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|(或9|)；

④若整数的末二位数是4(或25)的倍数，则4|(或25|)；

⑤若整数的末三位数是8(或125)的倍数，则8|(或125|)；

⑥若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|．

2．整除的基本性质

设，，都是整数，有：

①若|，|，则|；

②若|，|，则|(±)；

③若|，|，则[，]|；

④若|，|，且与互质，则|；

⑤若|，且与互质，则|．特别地，若质数|，则必有|或|．

例题与求解

【例1】在1，2，3，…，2000这2000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．

(“五羊杯”竞赛试题)

解题思想：自然数能同时被2和3整除，则能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．

【例2】已知，是正整数(＞)，对于以下两个结论：

①在＋，，－这三个数中必有2的倍数；

②在＋，，－这三个数中必有3的倍数．其中( )

A．只有①正确 B．只有②正确

C．①，②都正确 D．①，②都不正确

(江苏省竞赛试题)

解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．

【例3】已知整数能被198整除，求，的值．

(江苏省竞赛试题)

解题思想：198=2×9×11，整数能被9，11整除，运用整除的相关特性建立，的等式，求出，的值．

【例4】已知，，都是整数，当代数式7＋2＋3的值能被13整除时，那么代数式5＋7－22的值是否一定能被13整除，为什么？

(“华罗庚金杯”邀请赛试题)

解题思想：先把5＋7－22构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．

【例5】如果将正整数M放在正整数左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数，，…，，满足对任意一个正整数，在，，…，中都至少有一个为的“魔术数”．

(2013年全国初中数学竞赛试题)

解题思想：不妨设(=1，2，3，…，；=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为的“魔术数”．根据题中条件，利用(是的位数)被7除所得余数，分析的取值．

【例6】一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知，满足|－|=1，我们把青蛙从开始，经－1次跳动的位置依次记作：，，，…，．

⑴写出一个，使其，且＋＋＋＋0；

⑵若=13，=2012，求的值；

⑶对于整数(≥2)，如果存在一个能同时满足如下两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．求整数(≥2)被4除的余数，并说理理由．

(2013年“创新杯”邀请赛试题)

解题思想：⑴．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证＋＋＋＋0．只需将“向右”安排在前即可．

⑵若=13，=2012，从经过1999步到．不妨设向右跳了步，向左跳了步，则，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳．

⑶设同时满足两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．由于=0，故从原点出发，经过(－1)步到达，假定这(－1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=－，＋=－1，则＋＋＋…＋=0＋()＋()＋…()=2(＋＋…＋)－[()＋()＋…＋()]=2(＋＋…＋)－．由于＋＋＋…＋=0，所以(－1)=4(＋＋…＋)．即4|(－1)．

能力训练

A级

1．某班学生不到50人，在一次测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则有________人不及格．

2．从1到10000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．