初中数学自主招生难度讲义-7年级专题05数与形的第一次联姻（解析版）.pdfVIP

专题5数与形的第一次联姻

阅读与思考

数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；

反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，

是一种重要的数学思想．

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要

体现在一下几个方面：

1．利用数轴能形象地表示有理数；

2．利用数轴能直观地解释相反数；

3．利用数轴比较有理数的大小；

4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．

例题与求解

【例1】已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足

条件的点B与原点O的距离之和等于_____________．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：确定A，B在数轴上的位置，求出A，B两点所表示的有理数．

【例2】在数轴上和有理数a,b,c对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：

①abc0，②abbcac，③(ab)(bc)(ca)0，④a1bc，其中，正确的结论

有（）个．

A．4B．3C．2D．1

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：从数轴上得到a10bc1，再对代数式进行逐以一判断．

【例3】如图所示，已知数轴上点所对应的数都不为0，且是AB的中点．如

A,B,Ca,b,cC

果，试确定原点的大致位置．

aba2cb2cab2c0O

ab

解题思路：从化简等式入手，而c是解题的关键．

2

【例4】（1）阅读下面材料：

点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB．当A,B两点中有一点在原点

时，

当A、B两点都不在原点时，

①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如图4，点A、

B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是

______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________；

②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么x为_________；

③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的x的取值范围是___________．

④求x1x2x3...x1997的最小值．

（江苏省南京市中考试题）

解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式ab所表示的意义，来回答所提出的具体问题．

【例5】某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑

15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，

三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？