初中数学自主招生难度讲义-7年级专题23 与角相关的问题.pdf

专题23与角相关的问题

阅读与思考

角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角.角既可以看成有公共端点的两条射

线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

按角的大小可以分成锐角、直角和钝角.由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，

但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注.两角之和为直角的，这两个角叫做

互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证

明中都有十分重要的地位.

解与角有关的问题常用到以下知识与方法：

1.角的分类；

2.角平分线的概念；

3.互余、互补等数量关系角；

4.用方程的观点来进行角的计算.

例题与求解

【例1】如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则12.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出12的值.



【例2】如果与互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②

90

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90；③()；④().其中正确的有（）

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A.4个B.3个C.2个D.1个

（2013年浙江省衢江市数学竞赛试题）

解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.

【例3】已知AOB80，OC是不在直线OA，OB上的任一条射线.OM，ON分别平分∠AOC，

∠BOC.求∠MON的大小.（题目中考虑的角都小于平角）

（湖北省武汉市武昌区调考试题）

解题思路：因OC位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.

【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x的

值.

（湖北省黄冈市竞赛试题）

解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x的代数式表示，通过解方

程求出x的值.

【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸

上画出1°的角来.

（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？

（3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？

对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个19°（或17°或21°）的整数倍的角，其实，解题的

关键是在于能否找到19°（或17°或21°）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差1°.

【例6】如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.

（1）如图①，若AOC30，求∠DOE的度数；

（2）在图①中，若AOC，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；

（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置.

①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

②在∠AOC的内部有一条射线