曲线的凹凸性及曲率.ppt

4、1曲率及其计算公式在光滑弧上自点M取弧段对应切线转角定义弧段上的平均曲率点M处的曲率曲率K的计算公式第24页,共29页，星期六，2024年，5月例.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.第25页,共29页，星期六，2024年，5月抛物线例上哪一点处的曲率最大？解：根据曲率的计算公式由代入公式得若a,b给定，则时，曲率K最大，即即抛物线的顶点处曲率最大第26页,共29页，星期六，2024年，5月4、2曲率圆与曲率半径设P为曲线C上任一点,在点在曲线把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点P处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.P处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使第27页,共29页，星期六，2024年，5月第28页,共29页，星期六，2024年，5月第29页,共29页，星期六，2024年，5月问题:如何研究曲线的弯曲方向?问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?第2页,共29页，星期六，2024年，5月定义如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的．一、（一）曲线的凹凸性与拐点第3页,共29页，星期六，2024年，5月曲线凹凸的判定:第4页,共29页，星期六，2024年，5月定理设函数在区间内存在二阶导数，(2)若时，恒有，则曲线在内凸的．(1)若时，恒有，则曲线在内凹的；第5页,共29页，星期六，2024年，5月例解注意到,第6页,共29页，星期六，2024年，5月（二）曲线的拐点第7页,共29页，星期六，2024年，5月求拐点的一般步骤：②令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；①求函数的二阶导数；③对步骤②求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．第8页,共29页，星期六，2024年，5月第9页,共29页，星期六，2024年，5月第10页,共29页，星期六，2024年，5月练习.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上是凹的,是凸的,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸第11页,共29页，星期六，2024年，5月xoyl．二、渐近线第12页,共29页，星期六，2024年，5月**曲线渐近线的分类第13页,共29页，星期六，2024年，5月第14页,共29页，星期六，2024年，5月注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线．第15页,共29页，星期六，2024年，5月解因为，所以是曲线的水平渐近线．又因为5是的间断点,且，所以是曲线的铅垂渐近线．例求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.第16页,共29页，星期六，2024年，5月例求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.解因为，所以是曲线的水平渐近线．又因为1和-1是的间断点，且，，所以和是曲线的铅垂渐近线．第17页,共29页，星期六，2024年，5月三、复杂函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周第18页,共29页，星期六，2024年，5月例3.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)第19页,共29页，星期六，2024年，5月第20页,共29页，星期六，2024年，5月第21页,共29页，星期六，2024年，5月2-1-12o1第22页,共29页，星期六，2024年，5月⌒⌒⌒⌒四、平面曲线的曲率---曲线的弯曲程度决定于描述曲线在