2025年中考数学几何辅助线解题方法第1招 三角形，若等腰，三线合一常用到（含解析）.docxVIP

2025年

第1招三角形，若等腰，三线合一常用到

等腰三角形的显著特征是顶角平分线、底边上的高、底边上的中线合一，且它的内心Ⅰ、重心G、垂心H在同一条直线上.这些是其他一般三角形不具有的特性.因此，当题设条件中涉及等腰三角形的信息时，常要将等腰三角形顶角平分线(或底边上的中线、底边上的高)这一辅助线凸显出来，以便我们充分利用“三线合一”及“腰等底角等”的特性来分析问题.这招辅助线我们可将它表述为：

三角形，若等腰，三线合一常用到.

等腰三角形的这招辅助线，有时也说成：三角形，若等腰，三线合一等底角.

在解题过程中，当题设的条件中含等腰三角形信息时，充分运用等腰三角形“三线合一”性质及其逆命题添加辅助线进行分析，不但可以提高审题效率，加快解题速度，而且还可以加强相关知识点和不同知识领域的联系，促进创新思维.

例1(1)如图1-1所示,已知在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE.

(2)如图1-2所示,已知△ABC和△EDC都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D为AB边上一点,求证:∠AED=∠ACD.

解析(1)证明:如图1-3所示,延长CE,BA交于点F.(三线合一常用到)

∵CE⊥BE,BE平分∠ABC,

∴∠BEF=∠BEC=90°,∠CBE=∠FBE.

在△BEC与△BEF中

∴△BEC≌△BEF.∴CE=EF.∴CF=2CE.

∵∠BAC=90°,∠ADB=∠CDE,

∴∠ABD=∠ACE.

在△ABD与△ACF中,∠BAD=∠CAF,

∴△ABD≌△ACF.∴BD=CF.

∴BD=2CE.

(2)证法1如图1-4所示,∵∠1+∠4=∠2+∠4=90°,∴∠1=∠2.∵BC=AC,DC=EC,∴△BCD≌△ACE(SAS).

从而可得AE=BD.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠BAC=45°.(三线合一等底角)

∴∠B=∠EAC=45°,∠BDC=∠AEC.

又∠BDC=∠4+45°,∠AEC=∠3+45°,

∴∠3=∠4,即∠AED=∠ACD.

证法2如图1-5所示,延长AE,交BC的延长线于点F.

由证法1知∠EAC=45°,AE=BD.

∵∠FCA=∠BCA=90°,

∴△AFC与△BFA均为等腰直角三角形.(*)

∴EF=AF--AE=AB-BD=AD.又FC=CA,EC=DC,

∴△EFC≌△DAC.∴∠5=∠4.

又∠AEC=45°+∠3=∠F+∠5,而∠F=45°,∴∠5=∠3.

∴∠3=∠4,即∠AED=∠ACD.

证法3上接证法2中的(*).

∵∠1+∠4=∠2+∠5=90°,∠1+∠4=∠2+∠4=90°,

∴∠1=∠2,由此可得∠4=∠5.

∵∠AEC=45°+∠3=∠F+∠5,,而∠F=45°,

∴∠5=∠3.

∴∠3=∠4,即∠AED=∠ACD.

本题主要考查数学逻辑推理，对化归、转化能力的要求较高.第(1)问关键在于作出辅助线EF，AF，挖掘△BCF是以BE为高的等腰三角形BCF.第(2)问关键在于发现△BCD≌△ACE，并利用三角形的外角定理来推断，如证法1.若利用两次全等，先确认∠5=∠4，再证∠5=∠3，亦可获得其解，如证法2.证法3是证法2的升华，避开对△EFC≌△DAC的证明，是一种较好的思路.

例2如图1-6所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D是BC的中点，E是AC延长线上的一点，且CE=

(1)求证:∠BAD=∠E.

(2)若AB=4,在BE上是否存在点F,使以B，C，F为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似?如果有，试求出BF的长；如果没有，请说明理由.

解析(1)过点B作BM⊥AC,垂足为M,如图1-7所示.(三角形，若等腰，三线合一常用到)

∵∠ABC=90°,AB=BC,

∴CM=AM=BM=

∴EM=CM+CE=AC.

在Rt△BEM和Rt△ABD中,EMBM

(2)存在.

①过点C作CF⊥AE,交BE于点F.如图1-8所示,则有△ACD∽△BCF.

理由：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BCA=∠BAC=45°.

(三角形，若等腰，三线合一等底角)

∴∠BAD+∠CAD=∠CBE+∠E=45°.

又由(1)的结论知∠BAD=∠E,

∴∠CAD=∠CBE.

∵∠ADC=90°+∠BAD,∠BFC=90°+∠E,

∴∠ADC=∠BFC.∴△ACD∽△BCF.在Rt△ABC中,∵AB=BC=4,BD=2,

∴AC=4

∵△ACD∽△BCF,

∴ADAC=

②过点C作CF∥AD,交BE于点F,如图1-9所示,则∠ADC=∠BCF.

又∠CAD+∠BAD=45°,且∠