2025年中考数学几何辅助线解题方法第17 招 遇见线段等倍分，移转放缩找窍门（含解析）.docxVIP

2025年

第17招遇见线段等倍分，移转放缩找窍门

在题目给出的条件中，若当涉及的线段较为分散，但有相等，或倍、分的信息时，往往要巧妙地将有关线段进行平移、旋转、放缩，即过某点作平行于另一线段的平行线，或在一线段上截取一段等于另一段的若干倍，或将一线段绕某点旋转到另一位置，利用平移或旋转的关系将它们集结于某一特殊的图形之中，使之出现全等形、相似形或等腰三角形，由此获得解题思路.此招辅助线我们可将它表述为：

遇见线段等倍分，移转放缩找窍门.

易知，当线段换成角时，同样有：遇见角角等倍分，移转割补找窍门.

例1如图17-1所示，已知△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC的延长线上的点，且BD=CE,连接DE交BC于点G,求证:DE被BC平分.

解析证法1过点D作DF∥AC交BC于点F，(遇见线段等倍分，移转放缩找窍门)

如图17-2所示,则∠B=∠ACB=∠DFB,∴DB=DF.

在△DFG与△ECG中,

∵DF=DB=EC,∠1=∠2,∠3=∠4,

∴△DFG≌△ECG.

∴DG=EG,即DE被BC平分.

证法2过点D作DF∥BC,交AC于点F,如图17-3所示.

(遇见线段等倍分，移转放缩找窍门)

可得∠1=∠2=∠3=∠4,

∴AD=AF,

从而有FC=DB=CE.

在△EFD中,CG∥FD且CG过EF的中点C,

则CG为△EDF的中位线.(中点、中线想中位线)

故G为DE的中点,所以DE被BC平分.

证法3过点E作EH∥BC,交AB的延长线于点H,如图17-4所示.

(遇见线段等倍分，移转放缩找窍门)

可得∠1=∠2=∠3=∠AEH,

∴AH=AE.

又AB=AC,从而BH=CE=DB.

在△EHD中,BG∥EH且BG过DH的中点B,

则BG为△EDH的中位线.

(中点、中线想中位线，延线或作平行线)

故G为DE的中点,所以DE被BC平分.

证法4过点G作GH∥BA,交AC于点H,如图17-5所示.

(遇见线段等倍分，移转放缩找窍门)

设HG=x,则易证HG=HC=x.

又设DB=EC=y,AB=AC=b,

由GH∥DA,得GHDA=EH

∴bx+xy=bx+by-xy-y2,

故2xy=by?y2.

∵y≠0,∴x=

从而可得EG

即G是DE的中点,所以DE被BC平分.

证法5设点D到BC边的距离为h，如图17-6所示，则h=BD·sinB.

∵∠B=∠GCA,又∠∠GCE=180°?∠GCA设点E到BC边的距离为h，

∴

贝SGBDSOCE

由①②,得GD?GBGE?GC=BD?GB

又BD=CE,所以GD=GE,即DE被BC平分.

点评从本例的证明可知，辅助线作的不同，证法也有所不同.证法1是从全等的角度来思考的.证法2与证法3相当，都是作BC的平行线，利用三角形的中位线来分析的，不同的是证法2注重将CE平移，向BD靠拢.证法3注重将BD向下移.体现了“遇见线段等倍分，移转放缩找窍门”的战术思想.证法4侧重于计算推理的思维.证法5是从面积的比来探究的.所有这些证法都是常见的基本思路.不难得知，利用全等三角形的方法亦可按图17-7与图17-8所示的方法添加辅助线.读者不妨试试.

例2如图17-9所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,点E在DC边上,且CE=2DE,连接AE交BD于点G,过点D作DF⊥AE,连接OF并延长,交DC于点P,过点O作OQ⊥OP分别交AE,AD于点N,H,交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：

①OF=ON;

②OG=DG;

③DP2=NH?OH;

④sin

其中正确的结论有().

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

解析对于①，∵四边形ABCD是正方形，

∴AO=DO,AO⊥DO.又OQ⊥OP,

∴∠AOD=∠NOF=90°.

∴∠AON=∠DOF.

∵∠OAD+∠ADO=90°,

∴∠OAF+∠DAF+∠ADO=90°.

又DF⊥AE,

∴∠DAF+∠ADF=90°=∠DAF+∠ADO+∠ODF

∴∠OAF=∠ODF.

∴△ANO≌△DFO(ASA).

由此可得OF=ON,故①正确.

对于②,过点O作OK⊥AE,垂足为K,连接KD.如图17-10所示.

∵CE=2DE,∴AD=3DE.

∵tan

∵△ANO≌△DFO,

∴AN=DF.∴NF=2DF.

∵ON=OF,∠NOF=90°,

∴OK=KN=KF=

∴DF=OK.又DF∥OK,

∴四边形DFOK为平行四边形.

∴OG=DG,故②正确.

对于③,∵∠DAO=∠ODC=45°,OA=OD,∠