两类流体方程的渐近行为.pdf

摘要

非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，其解的渐近行为研究已成为偏微分

方程领域中最重要的研究课题之一．流体方程是偏微分方程中相当重要的一类方程．但

其在理论方面,尤其是解的渐近行为方面,还有许多问题尚未解决．本篇学位论文中，我

们主要研究两类流体方程中解的渐近行为，具体包括：

首先，本文回顾了流体力学方程模型的起源以及Brinkman-Forchheimer方程(简称B-

F方程)和Navier-Stokes方程(简称N-S方程)的研究背景，同时给出了无穷维动力系统的基

本理论及预备知识．

其次，通过本课题的研究,基于Titi的带有时间平均的积分形式的Gronwall不等式，给

出了一个改进版本的Gronwall不等式．并建立三维B-F方程在周期边界条件下的弱解的适

定性和正则性．在非自治系统中给出了三维B-F方程的决定模型．在自治系统中，我们也

可以在解的基础上得出全局吸引子，进而得出在吸引子上解轨道的渐近决定性．

再次，本文还研究了三维Brinkman-Forchheimer-extendedDarcy方程，基于其在

周期边界条件上的解的适定性和正则性，在非自治系统中我们可以得出三维Brinkman-

Forchheimer-extendedDarcy方程强解和弱解的决定模型．以及在非自治系统中，其在全

局吸引子上的解轨道的渐近决定性．

然后，本文研究了带有阻尼项的三维N-S方程在变化区域下全局吸引子的Gromov-

Hausdorff稳定性．GromovHausdorff稳定性解释了可能位于不相交相空间中的两个全局

吸引子之间的Gromov-Hausdorff距离，以及在域扰动下全局吸引子的稳定性．

最后，本文阐述了未来将要研究的几类问题，即带有时滞的流体力学模型及其决定

性和约化，这些问题都具有深远的现实意义和应用前景．

关键词：Navier-Stokes方程，渐近决定性，决定模型，全局吸引子

I

II

ABSTRACT

Nonlinearpartialdifferentialequationisanimportantbranchofmodernmathemat-

ics.Theasymptoticbehaviorofsolutionshasbecomethemostimportantresearchtopic

inthefieldofpartialdifferentialequations.Fluidequationisaveryimportantclassof

equationsinpartialdifferentialequations.However,therearestillmanyproblemstobe

unsolvedintheory,especiallyintheasymptoticbehaviorofsolutions.Inthispaper,we

mainlystudytheasymptoticbehaviorofsolutionsfortwokindsoffluidequations.

Firstly,thispaperreviewstheoriginsofthehydrodynamicequationmodelsofthe

researchbackgroundforBrinkman-Forchheimerequations(B-Fequationsforshort)and

Navier-Stokesequations(N-Sequationsforshort)and,atthesametime,givesthepre-

liminaryknowledgeandthebasictheoryofinfinitedimensionaldynamicalsystems.