高数人教A版（2019）选择必修第二册 5.1.2 导数的概念及其几何意义（第2课时）课件（21页ppt）.pptxVIP

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第五章一元函数的导数及其应用

5.1导数的概念及其意义

5.1.2导数的概念及其几何意义（第2课时）

教学目标

学习目标

数学素养

1.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．

1.特殊到一般的数学素养和逻辑推理素养.

2.体会平均变化率与割线斜率、瞬时变化率与切线斜率，理解导数的几何意义．

2.特殊到一般的数学抽象素养.

3.理解导函数的概念，弄清f(x0)、f′(x)的区别与内在联系.

3.特殊到一般的数学抽象素养.

温故知新

导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.

2.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法

①求函数的增量:

∆y=f(x0+∆x)-f(x0).

②求平均变化率：

③取极限得导数值:

简记：一差、二比、三极限.

1.导数的概念

温故知新

3.抛物线的切线斜率

抛物线y=f(x)在x=x0处割线的斜率

抛物线y=f(x)在x=x0处切线的斜率

新知探究

我们知道，导数f(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，那么导数f(x0)的几何意义是什么?

知新探究

如图，在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0)),割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线(tangentline).

此处曲线y=f(x)在点P0处的切线是从割线（平均变化率）出发，利用极限思想到瞬时变化率去定义的；而初中所学过的圆的切线则是从交点个数定义的.

知新探究

记△x=x-x0,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时，即当△x→0时，k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.

因此，函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0.

这就是导数的几何意义.

知新探究

继续观察：可以发现点P0处的切线P0T比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线.

进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.

因此，在点P0附近，曲线y=f(x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.

知新探究

【例1】如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t=t0，t1，t2附近的变化情况

解：

我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.

⑴当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)=0.这时,在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.

⑵当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h′(t1)0.这时,在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.

⑶当t=t2时,曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)0.这时,在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.

从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.

知新探究

1.函数y=f(x)在x0处切线的倾斜角为锐角

通过例1，你能总结一下如何根据导数的取值情况来判断函数在某点的增减吗？

⇔f′(x0)0⇔函数y=f(x)在x0附近单调递增

2.函数y=f(x)在x0处切线的倾斜角为零角

⇔f′(x0)=0⇔函数y=f(x)在x0附近没有增减

3.函数y=f(x)在x0处切线的倾斜角为钝角

⇔f′(x0)0⇔函数y=f(x)在x0附近单调递减

某点处导数为正，则函数在该点附近单调递增.某点处导数为负，则函数在该点附近单调递减.

P4

P3

P2

P1

知新探究

结合右图，你能总结一下如何根据导数的取值情况来判断函数在某点的增减快慢吗？

导数的绝对值越大，增（减）的速度越快

P4

P3

P2

P1

知新探究

【例2】下图中是人体血管中药物浓度c=f(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).

解：

血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看,它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.

如图所示，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到