2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线分层演练理含解析新人教A版.docVIP

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第7讲抛物线

1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()

A．－eq\f(4,3) B．－1

C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)

解析：选C.由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率为k＝eq\f(3－0,－2－2)＝－eq\f(3,4).

2．若点A，B在抛物线y2＝2px(p0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4eq\r(3)，则该抛物线方程是()

A．y2＝eq\f(2\r(3),3)x B．y2＝eq\r(3)x

C．y2＝2eq\r(3)x D．y2＝eq\f(\r(3),3)x

解析：选A.依据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4eq\r(3)，故eq\f(\r(3),4)AB2＝4eq\r(3)，故AB＝4，正三角形的高为2eq\r(3)，故可以设点A的坐标为(2eq\r(3)，2)，代入抛物线方程得4＝4eq\r(3)p，解得p＝eq\f(\r(3),3)，故所求的抛物线方程为y2＝eq\f(2\r(3),3)x.故选A.

3．(2024·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为eq\f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝()

A．5 B．6

C．7 D．8

解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为eq\f(2,3)的直线的方程为y＝eq\f(2,3)(x＋2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)（x＋2），,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以eq\o(FM,\s\up6(→))＝(0，2)，eq\o(FN,\s\up6(→))＝(3，4)，所以eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝8.故选D.

法二：过点(－2，0)且斜率为eq\f(2,3)的直线的方程为y＝eq\f(2,3)(x＋2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)（x＋2），,y2＝4x，))得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，依据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以eq\o(FM,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(FN,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，所以eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(xx＋x2)＋1＋4eq\r(x1x2)＝4－5＋1＋8＝8.故选D.

4．(2024·湖南省五市十校联考)已知抛物线y2＝2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF|2，则点A到原点的距离为()

A.eq\r(41) B．2eq\r(2)

C．4 D．8

解析：选B.令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，则点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5a－\f(1,2)，4a))，代入y2＝2x中，解得a＝eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,8)(舍)，此时A(2，2)，故点A到原点的距离为2eq\r(2).

5．(2024·太原模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，则|QF|等于()

A.eq\f(7,2) B.eq\f(5,2)

C．3 D．2

解析：选C.因为eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，所以|eq\o(FP,\s\up6(→))|＝4|eq\o(FQ,\s\up6(→))|，所以eq\f(|PQ|,|PF|)＝eq\f(3,4).如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，所以eq\f(|PQ|,|PF|)＝eq\f(|QQ′|,|AF|)＝eq\f(3,4)，所以|QQ′|＝3，依据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3.