数学物理方程举例和基本概念.ppt

**这就是微翘的薄膜平衡方程.的方程为二维泊松方程.一般地，称形如若薄膜的重力可忽略，即f=0，则方程被称为二维拉普拉斯方程（或调和方程）.第29页,共48页，星期六，2024年，5月Poisson方程和Laplace方程还可描述许多物理现象，如静电场的电势分布、热传导问题中定常温度分布、引力势、流体力学中的势和弹性力学中的调和势，概括地说，它所描写的自然现象是稳恒的、定常的，即与时间无关的——反映物理量在稳恒状态下的变化规律.说明：例如：稳定温度分布——导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化.故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而前述热传导方程即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.薄膜振动方程（二维波动方程）（薄膜平衡方程）第30页,共48页，星期六，2024年，5月定解条件的提法●初始条件（初始状态）注：由于它们都是描述稳定状态的，与时间无关，故不提初始条件！●边值条件注意：边界条件并不只限于以上三类，还有其他边界条件（热传导中有辐射条件），有时甚至还有非线性边界条件。第31页,共48页，星期六，2024年，5月㈣几个重要的基本原理叠加原理——在物理学中经常出现这样的现象：一些不同的单个原因的综合所产生的综合效果等于这些不同的单个原因各自产生的单个效果的累加，这就是叠加原理.适用条件：例如：1.物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度,于各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的矢量和,这叫做力的叠加原理（或力的独立作用原理）.2.如果几个电荷同时存在,它们电场就互相叠加,形成合电场.这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和,这叫做电场的叠加原理.3.点电荷系产生的电场中某点的电势等于各个点电荷单独存在时,在该点产生的电势的代数和,称为电势叠加原理.泛定方程、定解条件都是线性的——线性定解问题.数学表述：可将复杂的定解问题看作是若个相对简单部分的线性叠加而成，那么这几个部分所得出的解的线性叠加给出的形式解，即为原定解问题的解——体现了“化归”思想.第32页,共48页，星期六，2024年，5月第33页,共48页，星期六，2024年，5月利用叠加原理，可以分解成如下两个问题定解问题的分解第34页,共48页，星期六，2024年，5月叠加原理I.第35页,共48页，星期六，2024年，5月注.上面列出的两端边界条件都是第一类的.实际上，对于第二类边界条件以及两端不同类型的边界条件，也成立叠加原理.第36页,共48页，星期六，2024年，5月利用叠加原理，可以分解成如下三个问题定解问题的分解第37页,共48页，星期六，2024年，5月叠加原理II.非齐次方程第38页,共48页，星期六，2024年，5月（积分形式的）叠加原理III.非齐次方程第39页,共48页，星期六，2024年，5月叠加原理IV.带齐次边界条件的初边值问题第40页,共48页，星期六，2024年，5月例如.考虑弦振动的初值问题利用叠加原理IV，可以分解成如下两个问题和说明：利用Duhamel原理求解由物理意义知，这种振动可看成是仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.第41页,共48页，星期六，2024年，5月于是，原问题可分解为如下三个问题利用叠加原理IV，问题（1）又可分解成如下两个问题和第42页,共48页，星期六，2024年，5月齐次化（Duhamel）原理（杜阿梅尔，法国，1797-1872）——非定常、非齐次线性偏微分方程、齐次条件的定解问题（柯西问题、初边值问题）.例如：双曲型及抛物型叠加原理的一个重要应用就是它可以把非齐次的线性偏微分方程的求解化为齐次线性偏微分方程的求解，即所谓的齐次化原理，又叫杜阿梅尔（Duhamel）原理.⑴Duhamel原理（齐次初始条件的非齐次方程的初值问题）第43页,共48页，星期六，2024年，5月第44页,共48页，星期六，2024年，5月该方法可以看作是求解非齐次线性常微分方程时使用的常数变易法的推广.第45页,共48页，星期六，2024年，5月第46页,共48页，星期六，2024年，5月第47页,共48页，星期六，2024年，5月换句话说，我们先考察时间微元dτ内弦的位移量，然后再进行0~t段的积分，就是t时刻x处弦的位移量u(t,x).~~~~~第48页,共48页，星期六，2024年，5月************************目录上页