方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式.ppt

例7.解：设皆为n维行向量，b为常数，求n维线性函数在任意点x处的梯度和黑塞矩阵.设，于是因所以第28页,共43页，星期六，2024年，5月当时，二维线性函数写成向量形式是于是第29页,共43页，星期六，2024年，5月例8.解：设Q为n阶对称矩阵，皆为n维行向量，c为常数，求n维二次函数在任意点处的梯度和黑塞矩阵.设则于是第30页,共43页，星期六，2024年，5月又因所以第31页,共43页，星期六，2024年，5月写出二维二次函数的梯度和黑塞矩阵.第32页,共43页，星期六，2024年，5月2.泰勒公式若函数在点的某一邻域内具有一阶连续偏导数,且是这邻域内的一点,则有近似公式：如果要使这个函数有更高的精度,先须讨论二元函数的泰勒公式.一元函数的泰勒公式:第33页,共43页，星期六，2024年，5月记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表示第34页,共43页，星期六，2024年，5月定理10.4.4的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.第35页,共43页，星期六，2024年，5月证:令则利用多元复合函数求导法则可得:第36页,共43页，星期六，2024年，5月一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.第37页,共43页，星期六，2024年，5月说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有第38页,共43页，星期六，2024年，5月(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上第39页,共43页，星期六，2024年，5月例9.求函数解:的三阶泰勒公式.因此,第40页,共43页，星期六，2024年，5月其中第41页,共43页，星期六，2024年，5月§10.4方向导数与梯度及泰勒公式10.4.1方向导数与梯度内容小结与作业10.4.2方向导数与梯度的性质及应用10.4.3黑塞矩阵与泰勒公式第2页,共43页，星期六，2024年，5月10.4.1方向导数与梯度1.方向导数的概念偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.对于二元函数有在几何上，它们分别表示平面曲线及在点处的切线的斜率.第3页,共43页，星期六，2024年，5月(x0,y0)处沿某指定方向的变化率.下面我们来考虑二元函数在点定义若函数在点处沿方向u(方向角为存在下列极限:记作则称为函数在点P处沿方向u的方向导数.第4页,共43页，星期六，2024年，5月方向导数的几何意义表示曲线C在点处的切线的斜率.特别:?当u与x轴同向?当u与x轴反向第5页,共43页，星期六，2024年，5月那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在，设函数在点处可微，定理10.4.1且有其中为向量u的方向余弦.因函数在点处可微，则证明2.方向导数的计算第6页,共43页，星期六，2024年，5月这就证明了方向导数存在，且一般地，当函数可微时，有且所以当自变量从点沿u方向移动时，第7页,共43页，星期六，2024年，5月三元函数