数值分析计算方法第七章.ppt

若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：那么这个函数系在[-?,?]上不仅保持正交的性质，而且还是标准化的(规范的)第5页,共34页，星期六，2024年，5月1．权函数定义7.1设?(x)定义在有限或无限区间[a,b]上，如果具有下列性质：(1)?(x)≥0，对任意x?[a,b]，(2)积分存在，(n=0,1,2,…)，(3)对非负的连续函数g(x)若则在(a,b)上g(x)?0称?(x)为[a,b]上的权函数第6页,共34页，星期六，2024年，5月2．内积定义7.2设f(x)，g(x)?C[a,b]，?(x)是[a,b]上的权函数，则称为f(x)与g(x)在[a,b]上以?(x)为权函数的内积。内积的性质：(1)(f,f)≥0，且(f,f)=0?f=0；(2)(f,g)=(g,f)；(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；(4)对任意实数k，(kf,g)=k(f,g)。第7页,共34页，星期六，2024年，5月3．正交性定义7.3设f(x)，g(x)?C[a,b]若则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权?(x)正交。定义7.4设在[a,b]上给定函数系，若满足条件则称函数系{?k(x)}是[a,b]上带权?(x)的正交函数系，第8页,共34页，星期六，2024年，5月若定义7.4中的函数系为多项式函数系，则称为以?(x)为权的在[a,b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a,b]上带权?(x)的n次正交多项式。特别地，当Ak?1时，则称该函数系为标准正交函数系。第9页,共34页，星期六，2024年，5月二、常用的正交多项式1．切比雪夫(чебыщев)多项式定义7.5称多项式为n次的切比雪夫多项式(第一类)。第10页,共34页，星期六，2024年，5月切比雪夫多项式的性质：(1)正交性：由{Tn(x)}所组成的序列{Tn(x)}是在区间[-1,1]上带权的正交多项式序列。且第11页,共34页，星期六，2024年，5月(2)递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：(3)奇偶性：切比雪夫多项式Tn(x)，当n为奇数时为奇函数；n为偶数时为偶函数。 第12页,共34页，星期六，2024年，5月(4)Tn(x)在区间[-1,1]上有n个不同的零点(5)Tn(x)在[-1,1]上有n+1个不同的极值点使Tn(x)轮流取得最大值1和最小值-1。第13页,共34页，星期六，2024年，5月(6)切比雪夫多项式的极值性质Tn(x)的最高次项系数为2n-1(n=1,2,…)。定理7.1在-1≤x≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn(x)中与零的偏差最小，且其偏差为即，对于任何，有第14页,共34页，星期六，2024年，5月2．勒让德(Legendre)多项式定义7.6多项式称为n次勒让德多项式。勒让德多项式的性质：(1)正交性勒让德多项式序列{pn(x)}是在[-1,1]上带权?(x)=1的正交多项式序列。第15页,共34页，星期六，2024年，5月(2)递推关系相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：第16页,共34页，星期六，2024年，5月(3)奇偶性：当n为偶数时，pn(x)为偶函数；当n为奇数时，pn(x)为奇函数。(4)pn(x)的n个零点都是实的、相异的，且全部在区间[-1,1]内部。第17页,共34页，星期六，2024年，5月3．其它常用的正交多项式(1)第二类切比雪夫多项式定义7.7称为第二类切比雪夫多项式。第18页,共34页，星期六，2024年，5月①{un(x)}是在区间[-1,1]上带权函数的正交多项式序列。②相邻的三项具有递推关系式：第19页,共34页，星期六，2024年，5月(2)拉盖尔(Laguerre)多项式定义7.8称多项式为拉盖尔多项式。第20页,共34页，星期六，2024年，5月①{Ln(x)}是在区间[0,+∞]上带权?