概率论连续型随机变量.ppt

例3设X～N(3,4),试求:(1)P(2X≤5)(2)P(?2X7)(3)若P(Xc)=P(X≤c),求c的值解:又?=3,?=2(1)P(2X≤5)=0.5328=F(5)?F(2)=?(1)??(?0.5)=?(1)?[1??(0.5)]第37页,共40页，星期六，2024年，5月(2)P(?2X7)=F(7)?F(?2)=?(2)??(?2.5)=0.9710=?(2)?[1??(2.5)](3)P(Xc)=1?P(X≤c)=P(X≤c)?P(X≤c)=0.5?F(c)=0.5?c=3第38页,共40页，星期六，2024年，5月例4设测量的误差X~N(7.5,100)(单位:米)。问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解：第39页,共40页，星期六，2024年，5月设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米n3故至少要进行4次独立测量才能满足要求。第40页,共40页，星期六，2024年，5月注:对连续型随机变量X和任意实数a,总有P(X=a)=0,即,取单点值的概率为0∵?a及??0,有得P(X=a)=0{X=a}?{a??X≤a}?0≤P(X=a)≤P(a??X≤a)=F(a)?F(a??)第5页,共40页，星期六，2024年，5月故:(1)P(A)=0A是不可能事件(2)连续型随机变量X落在区间的概率与区间是否包含端点无关即:P(aX≤b)=P(a≤Xb)=P(aXb)=P(a≤X≤b)第6页,共40页，星期六，2024年，5月例1设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=Ae－|x|,??x+?试求:(1)常数A(2)P(0X1)(3)X的分布函数解:(1)=2A=1第7页,共40页，星期六，2024年，5月(3)x0x≤0(2)P(0X1)第8页,共40页，星期六，2024年，5月X的分布函数为:综合得:第9页,共40页，星期六，2024年，5月例2设随机变量X的概率密度为试求X的分布函数解:当x≤0时,当0x≤1时,=0第10页,共40页，星期六，2024年，5月当1x2时,当x≥2时,=1第11页,共40页，星期六，2024年，5月综上所述,可得随机变量X的分布函数:第12页,共40页，星期六，2024年，5月试求:(1)系数A和系数B(2)X的概率密度(3)例3设连续型随机变量X的分布函数为解:(1)F(+?)=1=A=1右连续:得:A=1,B=?1=A+B=0第13页,共40页，星期六，2024年，5月(2)?f(x)=F?(x)(3)第14页,共40页，星期六，2024年，5月试求X的概率密度.例4设随机变量X的分布函数为解:令则f(x)为非负函数第15页,共40页，星期六，2024年，5月且对于任意实数x有故X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)。注：当某一随机变量的分布函数F(x)连续，除有限个点外，导数F’(x)存在且连续时，则X为连续型随机变量，其概率密度可以按照下面的步骤来求。(1)在F’(x)存在的点x处，令f(x)=F’(x);(2)在F’(x)不存在的点x处，令f(x)为任意非负数第16页,共40页，星期六，2024年，5月常见连续型随机变量的分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。记为X～U[a,b]1.均匀分布第17页,共40页，星期六，2024年，5月由上式求得X的分布函数:若X～U[a,b],?[c,d]?[a,b],有:P(c≤X≤d)即随机变量X落在(a,b)内任何长为d–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比。可见，X落在长度相等的各个子区间的可能性相等。这正是几何概型的情形。第18页,共40页，星期六，2024年，5月xf(x)abxF(x)ba概率密度函数的图像为分布函数的