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第八中学选修三第二单元《随机变量及其分布》检测(含答案解析)

一、选择题

(1)在某次数学竞赛中，参加比赛的学生中有80%的学生得分超过60分。假设随机抽取一名学生，请计算这名学生得分低于60分的概率是多少？

(2)抛掷一枚公平的六面骰子，设随机变量X表示掷出的点数。请写出随机变量X的分布列，并计算X取值为4的概率。

(3)某班级共有30名学生，其中有15名男生和15名女生。从该班级中随机抽取3名学生，设随机变量Y表示抽取到的男生人数。请写出随机变量Y的分布列，并计算Y等于2的概率。

(4)设随机变量Z服从正态分布，均值为100，标准差为10。请计算Z小于90的概率。

(5)在一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，不放回。设随机变量W表示取出的球的颜色，请写出随机变量W的分布列，并计算W取值为红球的概率。

(6)抛掷一枚硬币3次，设随机变量X表示出现正面的次数。请写出随机变量X的分布列，并计算X等于2的概率。

(7)某城市居民每天乘坐地铁上下班的概率为0.6，设随机变量Y表示该居民一周内乘坐地铁的天数。请写出随机变量Y的分布列，并计算Y等于4的概率。

(8)从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，设随机变量X表示抽到的牌的花色。请写出随机变量X的分布列，并计算X取值为红桃的概率。

(9)在一次考试中，某学生的成绩服从正态分布，均值为70，标准差为5。请计算该学生成绩低于60分的概率。

(10)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设随机变量X表示两次掷骰子得到的点数之和。请写出随机变量X的分布列，并计算X等于7的概率。

二、填空题

(1)某公司销售员每月销售额服从正态分布，均值为5000元，标准差为1000元。如果要求销售员每月销售额至少达到6000元，那么至少需要有多少比例的销售员能够达到这个目标？

(2)在一次抽奖活动中，奖品数量与抽奖人数成正比。如果共有1000人参与抽奖，且奖品总数为200个，那么每个人获得奖品的概率是多少？

(3)某城市居民每天乘坐地铁上下班的概率为0.6，假设连续观察30天，那么在这30天内，居民乘坐地铁的天数服从什么分布？请计算在这30天内，居民乘坐地铁的天数超过20天的概率。

三、解答题

(1)某地区每年发生交通事故的次数服从泊松分布，平均每年发生事故10次。求该地区在任意一个月内发生5次以上交通事故的概率。

解答过程：

首先，我们设随机变量X表示一年中发生的交通事故次数，根据泊松分布的性质，X服从参数为λ=10的泊松分布。泊松分布的概率质量函数为：

\[P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\]

其中，k为交通事故次数，λ为平均事故次数。

我们需要计算的是P(X≥5)。这可以通过1减去P(X5)来得到：

\[P(X\geq5)=1-P(X5)\]

\[P(X5)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\]

将λ=10代入计算，得到P(X5)的具体值，然后从1中减去这个值即可得到P(X≥5)。

(2)设随机变量Y表示某班学生参加数学竞赛的得分，已知Y服从均值为70，标准差为10的正态分布。请计算该班有超过80%的学生得分在60分到90分之间的概率。

解答过程：

首先，根据正态分布的性质，我们知道Y服从均值为μ=70，标准差为σ=10的正态分布。我们需要计算的是在区间[60,90]内Y的概率。

为了计算这个概率，我们可以使用标准正态分布表或计算工具。首先，我们需要将Y的值转换为标准正态分布的Z值，使用公式：

\[Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}\]

然后，我们计算Z在-1和1之间的概率，即P(-1Z1)。查标准正态分布表或使用计算工具，可以得到这个概率的值。

(3)设随机变量Z表示某城市每天发生的火灾次数，已知Z服从参数为λ=2的泊松分布。如果某个月份内发生火灾的总次数超过4次的概率为0.2，那么这个月发生火灾的期望次数是多少？

解答过程：

我们知道Z服从参数为λ=2的泊松分布，泊松分布的期望值等于其参数λ。所以，Z的期望值E(Z)=λ=2。

我们需要计算的是P(Z4)=0.2。泊松分布的概率质量函数为：

\[P(Z=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\]

我们需要找到满足上述条件的k值。可以通过迭代计算或查找泊松分布表来找到这个k值。一旦找到k，我们知道这个月发生火灾的期望次数就是k，因为泊松分布的期望值等于其参数λ。

四、应用题

(1)某商场在周末进行促销活动，顾客购物后可随机获得优惠券，优惠券面值分别为5元、10元和15元，其概率分别为0.3、0.5和0.2。假设顾客购物一次，请计算该顾客获得的优惠券面值的期望值。

解答过程：

设随机变量X表示顾客