数学物理方程和定解条件.ppt

设粒子的浓度为u(x,y,z,t)，考虑dt时间内dv中的粒子流动情况，由扩散定律知，流入x方向的净粒子数为：例题解设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F(x,y,z,t)，试导出扩散方程。y方向：z方向：源强产生的粒子数：第30页,共56页，星期六，2024年，5月由质量守恒得：两边同除以dxdydzdt得：扩散定律：单位时间通过单位截面的粒子数与浓度梯度成正比。负号表示扩散方向与浓度变化方向相反，即粒子由高浓度向低浓度扩散。若D为均匀的，即与(x,y,z)无关，则第31页,共56页，星期六，2024年，5月设杆做纵振动的位移函数为u(x,t)，杆的杨氏模量为E，体密度为r，在x处的横截面积为S(x)，dx做纵振动时的运动方程为：例题解试推导一均质细圆锥杆的纵振动方程。纵向（水平方向）：两边同除以dx第32页,共56页，星期六，2024年，5月将代入上式，可得：约去p和tana，化简整理得令则第33页,共56页，星期六，2024年，5月此绳为柔软轻绳，可视作忽略掉重量的弦，设绳的平衡位置为水平线，位移函数为u(x,t)，绳的线密度为r，类似弦的横振动分析，dx做横振动时的运动方程为：例题解长为l的均质柔软轻绳，一段固定在竖直轴上，绳子以角速度w转动。试导出此绳相对于水平线的横振动方程。横向（竖直方向）：第34页,共56页，星期六，2024年，5月此绳以角速度w转动，绳上任意一处x的张力，由x到l这段绳的惯性离心力所提供，因此离心力=向心力=mw2r方程可化为两端同除以rdx则第35页,共56页，星期六，2024年，5月12.4稳定问题一般情况稳定态热传导方程（扩散方程）u不随t变化泊松方程拉普拉斯方程波动方程静电场电势即u随t周期的变化为波数亥姆霍兹方程第36页,共56页，星期六，2024年，5月物理数学波动方程双曲型方程热传导方程抛物型方程泊松方程椭圆型方程拉普拉斯方程?任务：三类方程的求解第37页,共56页，星期六，2024年，5月12.5边界条件与初始条件对于偏微分方程的通解是：u(x,y)=C1(y)+xC2(y)C1与C2是y的任意函数，可见解并不唯一。要描述一个具有确定解的物理问题，数学上要构成一个定解问题微分方程边界条件初始条件第38页,共56页，星期六，2024年，5月定义初始条件——完全描述物理问题的研究对象在初始时刻时，其内部及边界上任意一点的状况。边界条件——完全描述物理问题的研究对象的边界上各点在任一时刻的状况。第一类边界条件：边界上各点的函数值——第二类边界条件：边界上各点函数的法向微商值——第三类边界条件：与的线性关系第39页,共56页，星期六，2024年，5月举例热传导方程初始条件：边界条件：初始时刻各点的温度?边界上各点的温度?单位时间内通过单位面积的边界流入的热量为j(S,t)：法向微商，梯度矢量在外法线上的投影。若边界绝热，则j=0，有?介质通过边界按牛顿冷却定律散热。牛顿冷却定律：单位时间通过单位面积表面与外界交换的热量正比于介质表面温度与外界温度u0之差，h为比例系数。第40页,共56页，星期六，2024年，5月例题解长为l的均匀细杆，x=0端固定，另一端受到沿杆长方向的力F，若撤去F的瞬间为t=0时刻，求t0的杆的纵振动的定解条件。边界条件：（t0无外力作用，既无应变）初始条件：（胡克定律，S：横截面积，E：杨氏模量）第41页,共56页，星期六，2024年，5月例题解长为l，x=0端固定的均匀细杆，处于静止状态中，在t=0时，一个沿着杆长方向的力F加在杆的另一端上，求t0时杆上各点位移的定解条件。边界条件：初始条件：胡克定律，S：横截面积，E：杨氏模量第42