最优控制最大值原理.ppt

可以验证，u(t)一直等于1或者－1都不能同时满足状态变量的初始条件和终端条件,所以现在取将它代入系统的状态方程，并考虑初始条件，可得设终端时刻为tf，代入终端条件，有第93页,共98页，星期六，2024年，5月因为终端时刻是可变的，由终端时刻的Hamilton函数，得联立上面两式，得求出a,b和tf*后，回过来检查一下假设是否成立，为此，将a,b之值代入式u(t)中，得到第94页,共98页，星期六，2024年，5月它在区间[0，tf*=3]上满足约束条件。因此，在前面所做的假设是正确的。于是最优控制与最优轨线分别为而性能泛函的最优值为第95页,共98页，星期六，2024年，5月例2.3.2给定二阶系统的状态方程求满足约束条件的控制函数u(t)，使系统以最短时间从给定的初态转移到零态，即其中tf是可变的。第96页,共98页，星期六，2024年，5月解：这是一个时间最优控制问题，其性能指标泛函为因此该问题的哈密顿函数为由此得协态方程为根据最大值原理，满足约束条件的最优控制是第97页,共98页，星期六，2024年，5月由于?2(t)=(b－at)在平面t－?2上的图象是一条直线，随着t的增加，?2(t)只能有一次变号，根据?2(t)是由正变负或由负变正，控制函数u(t)由+1转换为－1或由－1转换为+1，究竟是哪种可能，可以进行试算。(1)u(t)=+1转换到u(t)=－1当u(t)=+1时，系统状态方程变为设在t=?时，控制u(t)由+1转换为－1，这时第98页,共98页，星期六，2024年，5月 可以求出满足最大值原理的控制函数为将上述结果综合起来，求解本例题的最优控制和最优轨线问题就转化为求解下列的两点边界值问题。第61页,共98页，星期六，2024年，5月 加上终端状态的约束条件上述方程组的解就确定了。不过，欲将它解出来，却是非常困难的，因为状态方程与终端条件是非线性的。(可以借助MATLAB求解)特例：状态变量某些分量的终态xj(tf)是完全固定的情况设状态变量的前r个分量的终态是固定的，而其余分量的终态是没有约束的。这时约束条件（2.2.19）变为 其中xif是常数，将上述终端约束条件代入式（2.2.21b），则可得到在这种情况下协态变量的终端条件为第62页,共98页，星期六，2024年，5月 既然状态变量前r个分量的终态是固定的，它们在性能指标泛函中自然不会出现。也就是说，对应于状态变量这些分量的常数ci等于零。所以最后得 由于?i是待定的常数，所以由上面两式可以得到一个重要的结论：若状态变量的分量xi(t)的终态xi(tf)是固定的，则协态变量与之相应的分量?i(t)的终态?i(tf)是自由的；反之，若状态变量的分量xi(t)的终态xi(tf)是自由的，则协态变量与之相应的分量?i(t)的终态?i(tf)是固定的，且为－ci。第63页,共98页，星期六，2024年，5月例2.2.3给定系统的状态方程 初始条件（2.2.23） 和终端条件（2.2.24） 现在需要确定最优控制u1*(t)和u2*(t)以及最优轨线x1*(t)和x2*(t)，将系统从t=0时的初态转移到t=1时的终态，并使性能泛函 达到极小值。 （2.2.22）第64页,共98页，星期六，2024年，5月 解：这是一个积分型最优控制问题。应用定理2.1.2来求解，为此构造哈密顿函数 由此可写出协态方程 由于x1(1)和x2(1)都是固定的，所以?1(1)和?2(1)都是自