数值分析线性方程组的迭代法.ppt

高斯—塞德尔迭代法计算公式：对k=0,1,…,第62页,共62页，星期六，2024年，5月由迭代格式，有两边取范数，代入上式，得证毕由定理知，当时，其值越小，迭代收敛越快，在程序设计中通常用相邻两次迭代（ε为给定的精度要求）作为控制迭代结束的条件第30页,共62页，星期六，2024年，5月例5已知线性方程组考察用Jacobi迭代和G-S迭代求解时的收敛性解:⑴雅可比迭代矩阵故Jacobi迭代收敛第31页,共62页，星期六，2024年，5月⑵将系数矩阵分解则高斯-塞德尔迭代矩阵故高斯—塞德尔迭代收敛。第32页,共62页，星期六，2024年，5月定理8设n阶方阵为严格对角占优阵,则非奇异证:因A为对角占优阵,其主对角元素的绝对值大于同行其它元素绝对值之和,且主对角元素全不为0,故对角阵为非奇异。作矩阵第33页,共62页，星期六，2024年，5月利用对角占优知由定理知非奇异,从而A非奇异,证毕系数矩阵为严格对角占优阵的线性方程组称作对角占优方程组。第34页,共62页，星期六，2024年，5月结论：严格对角占优线性方程组的雅可比迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式均收敛。第35页,共62页，星期六，2024年，5月定理9若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。第36页,共62页，星期六，2024年，5月证明若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约，则GS迭代收敛。假若不然，ρ(BG)≥1，即迭代矩阵BG的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且第37页,共62页，星期六，2024年，5月类似地，若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约，则Jacobi迭代收敛。假若不然，ρ(BJ)≥1，即迭代矩阵BJ的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且第38页,共62页，星期六，2024年，5月第39页,共62页，星期六，2024年，5月定理12对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当0ω2时，SOR迭代收敛.证明只需证明λ1（其中λ为Lω的任一特征值）.第40页,共62页，星期六，2024年，5月定理13对于线性代数方程组Ax=b，若A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约；则当0w≤1时，SOR迭代收敛。第41页,共62页，星期六，2024年，5月第42页,共62页，星期六，2024年，5月例6设,证明,求解方程组的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散证:雅可比迭代矩阵其谱半径第43页,共62页，星期六，2024年，5月例6设,证明,求解方程组的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散证:G-S迭代矩阵其谱半径显然,和同时小于、等于或大于1,因而Jacobi迭代法与G-S迭代法具有相同的收敛性第44页,共62页，星期六，2024年，5月例7设求解线性方程组的雅可比迭代x(k+1)=Bx(k)+fk=0,1,…求证当‖B‖1时,相应的G-S迭代收敛证这里以‖B‖?为例,‖B‖1类似由于B是雅可比迭代的迭代矩阵，故有∴Ax=b的系数矩阵按行严格对角占优,故高斯-塞德尔迭代收敛第45页,共62页，星期六，2024年，5月例8考察用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组Ax=b的收敛性，其中解：先计算迭代矩阵第46页,共62页，星期六，2024年，5月求特征值雅可比矩阵?(B)=01∴用雅可比迭代法求解时，迭代过程收敛第47页,共62页，星期六，2024年，5月?1=0,?2=2,?3=2?(G1)=21∴用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程发散高斯-塞德尔迭代矩阵求特征值第48页,共62页，星期六，2024年，5月∴Ax=b的系数矩阵按行严格对角占优,故高斯-塞德尔迭代收敛例9设有迭代格式