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数学选修推理与证明.ppt

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【例4】等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+S3=9+3(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【解析】(1)由已知得∴d=2,故an=2n-1+Sn=n(n+).第27页,共48页,星期六,2024年,5月(2)由(1)得假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等,且p,q,r∈N*)成等比数列,则即∵p,q,r∈N*,∴∴∴=pr,∴(p-r)2=0,∴p=r,这与p≠r矛盾.所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.第28页,共48页,星期六,2024年,5月四、数学归纳法1.归纳、猜想、证明是一种重要的数学思想,一般是先根据通项的递推关系或者前n项和公式写出数列的前几项,根据前几项的联系猜测其通项公式,猜测要合理,然后根据已知条件对猜测的公式给出证明,其证明方法一般是数学归纳法.第29页,共48页,星期六,2024年,5月2.数学归纳法解题步骤(1)当n取第一个值n0(例如n0=1)时,证明命题成立;(2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,并证明当n=k+1时,命题也成立.于是对一切n≥n0,n∈N*,命题都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题要分为两步.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,这两步是缺一不可的.第30页,共48页,星期六,2024年,5月【例5】在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;(2)证明:第31页,共48页,星期六,2024年,5月【解析】(1)由条件得2bn=an+an+1,=bnbn+1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.用数学归纳法证明:①当n=1时,由以上知结论成立.②假设当n=k(k≥1)时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1==(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.由①②可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.第32页,共48页,星期六,2024年,5月(2)当n=1时,当n≥2时,由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.故综上,原不等式成立.第33页,共48页,星期六,2024年,5月【例6】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),证明对任意的n∈N*,不等式成立.第34页,共48页,星期六,2024年,5月【解析】(1)由题意:Sn=bn+r,当n≥2时,Sn-1=bn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1),由于b>0且b≠1,所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),=b,即解得r=-1.第35页,共48页,星期六,2024年,5月(2)由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),所证不等式为①当n=1时,左式=右式=左式>右式,所以结论成立,②假设n=k(k∈N*)时结论成立,即则当n=k+1时,第36页,共48页,星期六,2024年,5月要证当n=k+1时结论成立,只需证即证由基本不等式得成立,经验证等号不成立.所以,当n=k+1时,结论成立.由①②可知,n∈N*时,不等式成立.第37页,共48页,星期六,2024年,5月1.用反证法证明“如果a>b,那么”,假设内容应是()(A)(B)(C)

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