概率统计中心极限定理.ppt

概率统计中心极限定理独立同分布的中心极限定理设随机变量序列独立同一分布,且有期望和方差：则对于任意实数x,定理1第2页,共25页，星期六，2024年，5月注则Yn为的标准化随机变量.即n足够大时，Yn的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数记近似近似服从第3页,共25页，星期六，2024年，5月中心极限定理的意义在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布若联系于此随机现象的随机变量为X，是由于许多彼次没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用则它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因素Xk的总和，而这个总和服从或近似服从正态分布.(即这些因素的叠加)的结果.第4页,共25页，星期六，2024年，5月对此现象还可举个有趣的例子——高尔顿钉板试验——加以说明.03—钉子层数高尔顿钉板第5页,共25页，星期六，2024年，5月德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（DeMoivre-Laplace）设Yn~B(n,p),0p1,n=1,2,…则对任一实数x，有即对任意的ab,Yn~N(np,np(1-p))(近似)定理2第6页,共25页，星期六，2024年，5月应用1例1炮火轰击敌方防御工事100次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.第7页,共25页，星期六，2024年，5月解设Xk表示第k次轰击命中的炮弹数相互独立，设X表示100次轰击命中的炮弹数,则由独立同分布中心极限定理,有第8页,共25页，星期六，2024年，5月(1)(2)第9页,共25页，星期六，2024年，5月例2售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了100份报时过路人的数目，求P(280?X?320).解令Xi为售出了第i–1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数,i=1,2,…,100(几何分布)应用2第10页,共25页，星期六，2024年，5月相互独立,由独立同分布中心极限定理,有第11页,共25页，星期六，2024年，5月例3检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率.解若在8小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于8小时.设X为检查1900个产品所用的时间(秒)设Xk为检查第k个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,…,1900应用3第12页,共25页，星期六，2024年，5月XkP10200.50.5相互独立同分布,第13页,共25页，星期六，2024年，5月第14页,共25页，星期六，2024年，5月例4某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为r千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给这个车间a千瓦的电力，X为开工的车床数,则X~B(200,0.6),X~N(120,48)(近似)应用4由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,有第15页,共25页，星期六，2024年，5月问题转化为求a,使反查标准正态函数分布表，得第16页,共25页，星期六，2024年，5月令解得(千瓦)第17页,共25页，星期六，2024年，5月第18页,共25页，星期六，2024年，5月例5设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与1/6比较上下不超过1%的概率.解设X表示6000粒种子中的良种数,X~B(6000,1/6)应用5近似由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,则有第19页,共25页，星期六，2024年，5月第20页,共25页，星期六，20