2024高考数学一轮复习课后限时集训66坐标系文北师大版.docVIP

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课后限时集训66

坐标系

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1．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设l1：θ＝eq\f(π,6)，l2：θ＝eq\f(π,3)，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．

[解](1)∵曲线C的一般方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0.

∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋8sinθ.

(2)设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ1，\f(π,6)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，\f(π,3))).

把θ＝eq\f(π,6)代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，

得ρ1＝4＋3eq\r(3)，

∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋3\r(3)，\f(π,6))).

把θ＝eq\f(π,3)代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，

得ρ2＝3＋4eq\r(3)，

∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋4\r(3)，\f(π,3))).

∴S△AOB＝eq\f(1,2)ρ1ρ2sin∠AOB

＝eq\f(1,2)(4＋3eq\r(3))(3＋4eq\r(3))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,6)))

＝12＋eq\f(25\r(3),4).

2．在极坐标系中，已知圆C经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，圆心为直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

[解]在ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)中，

令θ＝0，得ρ＝1，

所以圆C的圆心坐标为(1,0)．

因为圆C经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，

所以圆C的半径|PC|＝eq\r(?\r(2)?2＋12－2×1×\r(2)cos\f(π,4))＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

3．(2024·哈尔滨模拟)以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的方程为(x－1)2＋y2＝1，C2的方程为x＋y＝3，C3是一条经过原点且斜率大于0的直线．

(1)求C1与C2的极坐标方程；

(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O)，C2与C3的一个公共点为B，求|OA|－eq\f(3,|OB|)的取值范围．

[解](1)曲线C1的方程为(x－1)2＋y2＝1，C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，

C2的方程为x＋y＝3，其极坐标方程为ρ＝eq\f(3,cosθ＋sinθ)，

(2)C3是一条过原点且斜率为正值的直线，C3的极坐标方程为θ＝α，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，

联立C1与C3的极坐标方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ＝2cosθ，,θ＝α，))得ρ＝2cosα，

即|OA|＝2cosα.

联立C2与C3的极坐标方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ＝\f(3,cosθ＋sinθ)，,θ＝α，))得

ρ＝eq\f(3,cosα＋sinα)，即|OB|＝eq\f(3,cosα＋sinα)，

所以|OA|－eq\f(3,|OB|)＝2cosα－cosα－sinα＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))，

又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以|OA|－eq\f(3,|OB|)∈(－1,1)．

4．在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋acosθ,y＝sinθ))(a＞0且a≠1，θ为参数)，将曲线C上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍，得到曲线M.

(1)若a＝2，求曲线M的极坐标方程；

(2)若直线θ＝eq\f(π,6)与曲线M相交于两个不同的点P，Q，且P为OQ的中点，求a的值及|PQ|的值．