选择必修第二册 第五章 5.1.2 导数的概念及其几何意义（第1课时）课件（20页ppt）.pptxVIP

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第五章一元函数的导数及其应用

5.1导数的概念及其意义

5.1.2导数的概念及其几何意义（第1课时）

教学目标

学习目标

数学素养

1.了解导数概念的实际背景．

1.特殊到一般的数学素养和逻辑推理素养.

2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．

2.特殊到一般的数学抽象素养.

温故知新

1.跳台跳水运动员的速度.

平均速度：

瞬时速度

运动员在时间段[t0,t0＋Δt]内的平均速度为

当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为

温故知新

2.抛物线的切线斜率

抛物线y=f(x)在x=x0处割线的斜率

抛物线y=f(x)在x=x0处切线的斜率

新知探究

前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题,涉及平均速度和瞬时速度;另一类是几何学中的问题,涉及割线斜率和切线斜率.这两类问题来自不同的学科领域,但在解决问题时,都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法;问题的答案也是一样的表示形式.下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.

对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+∆x,相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x的变化量为∆x,y的变化量为

∆y=f(x0+∆x)-f(x0).

叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率.

知新探究

说明：

1.f′(x0)与x0的取值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；

导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.

2.f′(x0)与∆x的具体取值无关；

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.

知新探究

问题2中抛物f(x)=x2线在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0，就是函数f(x)=x2在x=1处的导数f′(1).

实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等.

由导数的定义可知，问题1中运动员在t=1时的瞬时速度v(1)，就是函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.在t=1处的导数h′(1)；

知新探究

解：

知新探究

1.求函数的增量:

由导数的定义可知,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法:

∆y=f(x0+∆x)-f(x0).

2.求平均变化率：

3.取极限得导数值:

简记：一差、二比、三极限.

初试身手

解：

知新探究

【例2】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh时,原油的温度(单位:℃)为y=f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

解：

在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6).根据导数的定义，

同理可得f′(6)=5.

知新探究

【例2】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh时,原油的温度(单位:℃)为y=f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

解：

f′(6)=5.它说明在第6h附近,原油温度的瞬时变化率为5℃/h，原油温度大约以5℃/h的速率上升.

在本题中，f′(x0)(0≤x≤8)是原油温度在时刻x0的瞬时变化率，它反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.

f′(2)=-3它说明在第2h附近,原油温度的瞬时变化率为-3℃/h，原油温度大约以3℃/h的速率下降;

知新探究

【例3】一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+17,求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.

解：

在第2s和第6s时,汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6).根据导数的定义，

同理可得v′(6)=-6.

分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率.因此,在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2),v′(6).

知新探究

【例3】一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+17,求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.

解：

在第2s和第6s时,汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6).根据导数的定义，

同理可得v′(6)=-6.

分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率.因此,在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2),v′(6).

在第2s和第6s时,汽车的瞬时加速度分别为2m/s2