河北省石家庄市第二中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题.docx

河北省石家庄市第二中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知（为虚数单位），则（????）

A．2 B． C．4 D．5

2．已知向量，，若与反向共线，则的值为（????）

A．0 B． C． D．

3．已知集合，则（??）

A． B． C． D．

4．已知，则（????）

A． B． C． D．

5．已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（????）

A．12 B．10 C．9 D．8

6．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（????）

A． B． C． D．3

7．已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（????）

A．1 B． C． D．2

8．已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，是上位于直线两侧的点，且点到直线与直线的距离相等，则直线与轴交点的横坐标的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．关于函数，下列说法中正确的有（????）

A．是奇函数 B．在区间上单调递增

C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为

10．从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字，，记点，，，则（???）

A．是锐角的概率为 B．是锐角的概率为

C．是锐角三角形的概率为 D．的面积不大于5的概率为

11．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次记为，若的最小值为，则（）

A．

B．为钝角

C．

D．若点，在上，且为的重心，则

12．已知，函数，则（????）

A．对任意，，存在唯一极值点

B．对任意，，曲线过原点的切线有两条

C．当时，存在零点

D．当时，的最小值为1

三、填空题

13．已知，若的展开式中含项的系数为40，则.

14．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是.

15．已知三棱锥顶点均在一个半径为5的球面上，，P到底面ABC的距离为5，则的最小值为．

16．已知定义在上的函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是．

四、解答题

17．设等差数列的前项和为，，．

(1)求的通项公式；

(2)设数列的前项和为，求．

18．已知中，角所对的边分别为.

(1)求；

(2)设是边上的点，且满足，求内切圆的半径.

19．在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．

??

(1)求证：；

(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

20．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为．

(1)求的值；

(2)求的值（用表示）；

(3)求证：的数学期望为定值．

21．已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为．

(1)求双曲线的标准方程．

(2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若．

①求证：为定值；

②若直线AB?的斜率为?1?，求点P?的坐标．

22．已知定义在上的函数和.

(1)求证：；

(2)设在存在极值点，求实数的取值范围.

《河北省石家庄市第二中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

C

B

D

D

B

A

BCD

ACD

题号

11

12

答案

AC

ABD

1．D

【分析】利用复数的除法运算可求得，结合共轭复数定义和乘法运算即可求得结果.

【详解】根据题意由可得，

可得，所以.

故选：D

2．C

【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可.

【详解】根据题意可得：，解得或；

当时，与共线同向，故舍去；

当时，，，

.

故选：C.

3．C

【分析】解不等式化简集合A，求出函数的定义域化简集合B，再利用并集的定义求解即得.

【详解】