江苏省常州市前黄高级中学2024届高三下学期一模适应性考试数学试题.docx

江苏省常州市前黄高级中学2024届高三下学期一模适应性考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设全集为定义集合与的运算：且，则（???）

A． B． C． D．

2．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（????）

A． B． C． D．

3．“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（????）

??

A． B．

C． D．

5．已知，且，则（????）

A．1 B． C． D．

6．已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

7．设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（????）

A．12 B．24 C． D．

8．已知函数与的图象有两个交点，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．若m，n为正整数且，则（????）

A． B．

C． D．

10．已知等差数列的前项和为，的公差为，则（????）

A． B．

C．若为等差数列，则 D．若为等差数列，则

11．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（????）

A．存在旋转函数

B．旋转函数一定是旋转函数

C．若为旋转函数，则

D．若为旋转函数，则

三、填空题

12．的展开式中的系数为．（用数字作答）

13．已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为．

14．在正方体中，球同时与以A为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点若以F为焦点，为准线的抛物线经过，，设球，的半径分别为，，则.

四、解答题

15．如图，在梯形中，，，.

(1)若，求的长；

(2)若，求.

16．如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与均不重合）.

(1)当点是棱的中点时，求证：直线平面；

(2)当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度.

17．已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为.

(1)求抛物线的方程；

(2)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围.

18．七选五型选择题组是许多类型考试的热门题型.为研究此类题型的选拔能力，建立以下模型.有数组和数组，规定与相配对则视为“正确配对”，反之皆为“错误配对”.设为时，对于任意都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数.

(1)请直接写出的值；

(2)已知.

①对和进行随机配对，记为“正确配对”的个数.请写出的分布列并求；

②试给出的证明.

19．若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”.

(1)求证：对任意“好数”一定为20的倍数；

(2)若，且为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值.

《江苏省常州市前黄高级中学2024届高三下学期一模适应性考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

A

C

A

C

B

A

AD

BD

题号

11

答案

ACD

1．B

【解析】根据定义用交并补依次化简集合，即得结果.

【详解】且

故选：B

【点睛】本题考查集合新定义、集合交并补概念，考查基本分析转化能力，属中档题.

2．D

【分析】利用向量垂直的充要条件、向量的数量积运算以及夹角公式进行计算求解.

【详解】因为，所以，即，

又，，所以，

解得，

又，则与的夹角为.

故选：D.

3．A

【分析】解指数不等式和对数不等式，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案．

【详解】“”“”，

“”“”，

“”是“”的充分而不必要条件，

故“”是“”的的充分而不必要条件，

故选：．

4．C

【分析】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，设正四棱台的高为，可得出，求出的值，即可求得该正四棱台的体积.

【详解】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，

设正四棱台的高为，因为每个直三棱柱的体积为，