4.3 等比数列 单元教学设计-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学.pdf

《等比数列》单元教学设计

一、内容及其解析

（一）内容

等比数列的概念、通项公式和性质；等比数列前n项和公式、等比数列的应用

（二）内容解析

1.内容本质

等比数列是两种“最基本”的数列之一，是刻画数学中或现实中具有递推规律和取值规律的

特殊数列，对它的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习其他类型的数列

打下基础.等比数列的概念、性质与应用既是本章的学习基础,也是本章的重点内容。由于等

差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，具有明显的对偶关系，因此对于等比数

列的研究，可以类比等差数列的研究路径，按照研究一个数学对象的基本路径，即“事实→

概念→性质→应用”来展开研究，让学生自主构建等比数列的研究内容和过程，进一步体会

通过数学运算、逻辑推理等研究一个数学对象的一般过程与等差数列类似，等比数列也是具

有明确现实背景、可以给出精确的规律表达、在解决实际问题和数学问题中有重要应用价值

的一类数列，它是刻画现实生活中“比值不变”的离散数值的特殊数列，是处理现实生活中

“等比”问题(例如存款利率、购房贷款、细胞分裂、放射性物质的衰变等)的重要数学模型.

与等差数列与一次函数的关系类似,等比数列是定义在正整数集上的指数型函数.求等比数

列的前n项和是研究级数敛散性的基础，可以借鉴“等差数列的前n项和公式”的研究经验，

发现和提出研究“等比数列的前n项和公式”的基本路径，并用于解决问题.与等差数列前n

项和公式一样,等比数列的前n项和公式是等比数列的定义、通项公式和特征性质直接应用

的结果，是研究数列问题的基础.

2.蕴含的思想方法

研究一个数列，基本而重要的问题是它的取值规律，基本的思想方法是通过运算发现“运算

中的不变性、规律性”,等差数列、等比数列的定义就反映了这个思想方法.以运算为手段来

探索数学对象的取值规律是一种重要的思维方法.通对5个具体例子共性的归纳,抽象出等

比数列的概念,后续对通项公式项和前n项和公式进行探究,其中蕴含了特殊与一般、函数与

方程、转化与化归、数形结合的数学思想方法，通过研究等比数列与指数函数的关系,感悟

数列是特殊的函数,学会以函数的观点看数列的概念、发现和理解数列的性质、认识数列的

应用价值等.一方面可让学生用函数的观点认识和理解数列的内容,另一方面可以加深学生

对函数概念及其思想方法的理解，使其体会数学的整体性和联系性.等比数列通项公式和前

n项和公式的推导中体现了“无限项”到“有限项”的“化多为少”的转化思想,蕴含着用

确定数列的基本量表示通项与前n项和的数学思想.与推导等差数列的前n项和公式的“倒

序相加法”类似，推导等比数列前n项和公式的“错位相减法”也是一种带有技巧性但很便

捷的方法,同时推导等比数列前n项和公式所需要的代数变形技巧具有挑战性，而且蕴含着

差分、微积分等基本思想,但与“倒序相加法”不同的是，“错位相减法”源于对等比数列

前n项和公式的观察和分析，其探索过程蕴含了丰富的数学思想方法(如特殊到一般、类比、

基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等)，充分体现了数学思想方法的融合。

3.知识的上下位关系

本单元借鉴了研究函数的经验，按照“一般数列→特殊数列”的顺序展开，特殊数列”是指

取值规律“最简单”的等差数列和等比数列.等比数列通项公式和前n项和公式是借鉴等差

数列的相关研究经验所探究的特殊数列的公式与性质,既是等差数列相关公式推导思路的延

展，为后续数列相关问题提供了学习内容和思维方法上的引导，也是今后研究级数的预备.

在后续数列内容的学习中,将“陌生”的数列转化归结为等差数列、等比数列这两类“特殊

数列”是常用的思路因此，本单元内容有着承前启后的作用。

4.育人价值

历史上人们对等比数列的研究比等差数列还要早,现实中等比数列的应用十分广泛,学生对

于数值指数爆炸式增长的情境较为熟悉,本单元的学习有助于学生从数学的角度思考这些生

活中常见的情境，树立“数源于生活并应用于生活”的观念推导等比数列通项公式和前n项

和公式的过程中,无论是对归纳猜想法、“累乘法”还是对“错位相减法”的探究,都让学生

经历了从等比数列概念出发,观察代数式的形式特点，运用数学思想经过不断尝试得出方法

的全过程，这能有效提升学生的数学运算、逻辑推理和数学抽象素养.学生在学习数列求和

时，能体会到数学思想方法诞生的曲折过程,感受到数学家在进行数学研究时的探索精神和

创新意识，同时对培养学生的科学精神有着十分重要的作用.特别是“