2023年高中数学知识点椭圆双曲线抛物线.docx

高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：表达椭圆；表达线段；没有轨迹；

（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上

中心在原点，焦点在轴上

标准方程

图形

x

x

O

F1

F2

P

y

A2

A1

B1

B2

A1

A1

x

O

F1

F2

P

y

A2

B2

B1

顶点

对称轴

轴，轴；短轴为，长轴为

焦点

焦距

离心率

（离心率越大，椭圆越扁）

通径

（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）

3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长=

（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：与（）表达双曲线的一支。

表达两条射线；没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上

中心在原点，焦点在轴上

标准方程

图形

x

x

O

F1

F2

P

y

A2

A1

yx

y

x

O

F1

P

B2

B1

F2

顶点

对称轴

轴，轴；虚轴为，实轴为

焦点

焦距

离心率

（离心率越大，开口越大）

渐近线

通径

（3）双曲线的渐近线：

①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。

②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；

（4）等轴双曲线为，其离心率为

（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长=

（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是

三、抛物线：

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。

其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。

（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：

焦点在轴上，

焦点在轴上，

焦点在轴上，

焦点在轴上，

开口向右

开口向左

开口向上

开口向下

标准方程

图形

x

x

O

F

P

y

O

O

F

P

y

x

O

O

F

P

y

x

O

O

F

P

y

x

顶点

对称轴

轴

轴

焦点

离心率

准线

通径

焦半径

焦点弦

焦准距

四、弦长公式：

其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数

五、弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。

法（二）：用点差法，设，，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。

六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e(求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

高考专题训练椭圆、双曲线、抛物线

一、选择题：

1．(2023·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为()

A.eq\f(3,4) B．1

C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)

答案：C

2．(2023·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()

A．n＝0 B．n＝1

C．n＝2 D．n≥3

答案：C

3．(2023·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()

A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)

C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)

答案：D

4．(2023·浙江)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)与双曲线C2：x2－eq\f(y2,4)＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()

A．a2＝eq\f(13,2) B．a2＝13

C．b2＝