初中数学自主招生难度讲义-8年级专题05和差化积.docx

专题05和差化积

——因式分解的应用

阅读与思考：

因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：

1．复杂的数值计算；

2．代数式的化简与求值；

3．简单的不定方程（组）；

4．代数等式的证明等.

有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：

1.;

2.;

3.；

4.；

5.．

例题与求解

【例1】已知，，那么的值为___________.

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值．

【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且，则等于( ).

A.－1B．－1或－7C．1D.1或7

（江苏省竞赛试题）

解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，

在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．

求代数式的值的基本方法有；

(1)代入字母的值求值；

(2)代入字母间的关系求值；

(3)整体代入求值．

【例3】计算：(1)（“希望杯”邀请赛试题）

（2）（江苏省竞赛试题）

解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究的规律．

【例4】求下列方程的整数解．

(1);（上海市竞赛试题）

(2).（四川省竞赛试题）

解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．

解不定方程的常用方法有：

(1)穷举法；(2)配方法；(3)分解法；(4)分离参数法．

用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.

【例5】已知，，求下列各式的值：

(1)；(2)；(3)．

解题思路：先分解因式再代入求值.

【例6】一个自然数恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若199519953199519923，求证：是一个完全立方数．（北京市竞赛试题）

解题思路：用字母表示数，将分解为完全立方式的形式即可．

能力训练

A级

1.如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________．

（烟台市初中考试题）

2．已知，则的值为__________．（江苏省竞赛试题）

3．方程的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题）

4.如果是完全平方式，那么的值为__________．（海南省竞赛试题）

5.已知()，则的值是()．

A．2，B．2C．D．

6．当，的值为()．

A.－1B．0C．2D．1

7．已知，，则M与N的大小关

系是()．

A.M＜NB．M＞NC．M＝ND．不能确定

（“希望杯”邀请赛试题）

8．为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是()．

A.388944B.388945C.388954D.388948

（五城市联赛试题）

9．计算：

(1