初中数学自主招生难度讲义-8年级专题08 分式方程.docxVIP

专题08分式方程

阅读与思考

分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等．

在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件．

例题与求解

【例1】若关于的方程＝－1的解为正数，则的取值范围是______．

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．

【例2】已知，其中A，B，C为常数．求A＋B＋C的值．

（“五羊杯”竞赛试题）

解题思路：将右边通分，比较分子，建立A，B，C的等式．

【例3】解下列方程：

（1）；（“五羊杯”竞赛试题）

（2）；（河南省竞赛试题）

（3）＋＝3．（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）

解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．

【例4】（1）方程的解是___________．（江苏省竞赛试题）

（2）方程的解是________．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．

【例5】若关于的方程只有一个解，试求的值与方程的解．

（江苏省竞赛试题）

解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．

【例6】求方程的正整数解．（“希望杯”竞赛试题）

解题思路：易知都大于1，不妨设1＜≤≤，则，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．

能力训练

A级

1．若关于x的方程有增根，则的值为________．（重庆市中考试题）

2．用换元法解分式方程时，如果设＝，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是___________．（上海市中考试题）

3．方程的解为__________．（天津市中考试题）

4．两个关于的方程与有一个解相同，则＝_______．

（呼和浩特市中考试题）

5．已知方程的两根分别为，，则方程的根是（）．

A．，B．，C．，D．，

（辽宁省中考试题）

6．关于的方程的解是正数，则的取值范围是（）

A．＞－1B．＞－1且≠0

C．＜－1D．＜－l且≠－2

（孝感市中考试题）

7．关于的方程的两个解是1＝，2＝，则关于的方程的两个解是（）．

A．，B．－1，C．，D．，

8．解下列方程：

（1）；（苏州市中考试题）

（2）．（盐城市中考试题）

已知．求10＋5＋的值．

10．若关于的方程只有一个解（相等的两根算作一个），求的值．

（黄冈市竞赛试题）

已知关于的方程2＋2＋，其中为实数.当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.

（聊城市中考试题）

12．若关于的方程无解，求的值．

（“希望杯”邀请赛试题）

B级

方程的解是__________．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

2．方程的解为__________．

3．分式方程有增根，则的值为_________．

4．若关于的分式方程＝－1的解是正数，则的取值范围是______．

（黑龙江省竞赛试题）

5．（1）若关于x的方程无解，则＝__________．（沈阳市中考试题）

（2）解分式方程会产生增根，则＝______．