青岛版八年级数学下册专项素养综合练(四)勾股定理的五种常见模型课件.ppt

模型二赵爽弦图模型4.(2023山东潍坊昌乐期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关

系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵

爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成

的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角

边长为b,若ab=24,大正方形的面积为129,则小正方形的边长

为?????()A.9????B.10????C.11????D.12A解析由题意知小正方形的边长是a-b,由勾股定理,得a2+b2=

129,∴(a-b)2=a2+b2-2ab=129-2×24=81,∵ab,∴a-b=9,∴小正

方形的边长为9.方法解读四个全等的直角三角形和一个小正方形构成一

个大正方形(赵爽弦图模型).解决赵爽弦图中的线段问题和

面积问题时,常常利用勾股定理和三角形全等的性质.5.(2023湖南长沙长郡教育集团期中)如图,“赵爽弦图”是

由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形,若大

正方形的面积是41,小正方形的面积是1,设直角三角形较长

的直角边长为b,较短的直角边长为a,则a+b的值是????.?9解析∵大正方形的面积是41,小正方形的面积是1,∴一个直角三角形的面积为?×(41-1)=10,斜边长为?.∴?ab=10,a2+b2=(?)2=41,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=41+4×10=81,∵a+b0,∴a+b=9.6.(新考向·阅读理解试题)(2024山东菏泽单县期中)阅读材

料,解决问题:我国古代数学家赵爽创造了一个“弦图”,利用面积法给出

了勾股定理的证明,实际上,该“弦图”与完全平方公式有密

切的关系.如图所示的是由8个全等的直角边长分别为a,b,斜

边长为c的三角形拼成的“弦图”.(1)正方形ABCD的面积可表示为????,正方形PQMN的

面积可表示为????.(用含a,b的式子表示)(2)用面积法说明(a+b)2,ab,(a-b)2三者之间的等量关系.(3)已知a+b=7,ab=5,求正方形EFGH的面积.?解析(1)(a+b)2;(a-b)2.(2)∵正方形ABCD的面积=正方形MNPQ的面积+一个直角

三角形的面积×8,∴(a+b)2=(a-b)2+?ab·8,∴(a+b)2=(a-b)2+4ab.(3)∵正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-一个直角三

角形的面积×4,∴正方形EFGH的面积=(a+b)2-?ab×4=(a+b)2-2ab=72-2×5=39.模型三风吹树折模型7.(2023云南昆明期中)如图,一根垂直于地面的旗杆在离地

面5m的B处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处,则旗

杆折断部分AB的长度是?()?A.5m????B.12m????C.13m????D.18mC解析在Rt△ABC中,BC=5m,AC=12m,根据勾股定理,得AB

=?=?=13(m),即旗杆折断部分AB的长度是13m.8.(2023湖南长沙明德教育集团期中)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题:如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10尺,BC=3尺,求AC的长.?解析设AC=x尺,∵AC+AB=10尺,∴AB=(10-x)尺.在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2,解得x=4.55,故AC的长为4.55尺.模型四出水芙蓉模型9.(2023湖北武汉武珞路中学期中)如图,有一个水池,水面是边长为1米的正方形,在水池中央有一根芦苇,它高出水面0.1米,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,这根芦苇的长度是?()?A.1.1米????B.1.2米????C.1.3米????D.1.4米C专项素养综合练(四)勾股定理的五种常见模型模型一“勾股树”模型1.(教材变式·P47T8)(2023山东潍坊寿光期中)如图所示的是

一棵美丽的“勾股树”,其中所有的四边形都是正方形,所有

的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分

别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是?()A.10????B.13????C.15????D.26B解析设正方形M、N的边长分别为x、y,最大正方形E的边

长为z,由勾股定理,得x2=3+5=8,y2=2+3=5,z2=x2+y2=13,所以最

大正方形E的面积为z2=13.故选B.方法解读“勾股树”模