初中数学自主招生难度讲义-8年级专题09 二次根式的概念与性质.docx

专题09二次根式的概念与性质

阅读与思考

式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：

1．．说明了与、2一样都是非负数．

2．＝（≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．

3．揭示了与绝对值的内在一致性．

4．（≥0，≥0）．

5．（≥0，＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．

6．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．

运用二次根式性质解题应注意：

（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；

要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．

例题与求解

【例1】设，都是有理数，且满足方程，那么的值是____________．（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．

【例2】当1≤≤2，经化简，＝___________．

解题思路：从化简被开方数入手，注意中≥0的隐含制约．

【例3】若＞0，＞0，且，求的值．

（天津市竞赛试题）

解题思路：对已知条件变形，求，的值或探求，的关系．

【例4】若实数，，满足关系式：

，试确定的值．

（北京市竞赛试题）

解题思路：观察发现（－199＋）与（199－－）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．

【例5】已知，求＋＋的值．

（山东省竞赛试题）

解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.

【例6】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．

（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为，2，（＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的△ABC，并求出它的面积．

（3）若△ABC三边的长分别为，，2（＞0，＞0，且≠）试运用构图法求出这个三角形的面积．

（咸宁市中考试题）

解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．

能力训练

A级

1．要使代数式有意义．则的取值范围是_____________．

（“希望杯”邀请赛试题）

2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．

已知为实数，化简．

解：原式＝．

3．已知正数，，有下列命题：

（1）若＝1，＝1，则1；

（2）若＝，＝，则；

（3）若＝2，＝3，则；

（4）若＝1，＝5，则3．

根据以上命题所提供的信息，请猜想：若＝6，＝7，则________．

（黄冈市竞赛试题）

4．已知实数，，满足，则（＋）的值为_______．

5．代数式的最小值是（）．

A．0B．1＋C．1D．不存在

6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（）．

A．和2B．3和3

C．和D．和

（“希望杯”邀请赛试题）

7．化简的结果是（）．

A．6－6B．－6＋6C．－4D．4

（江苏省竞赛试题）

8．设是一个无理数，且，满足－－＋l＝0，则是一个（）．

A．小于0的有理数B．大于0的有理数

C．小于0的无理数D．大于0的无理数

（武汉市竞赛试题）

9．已知，其中≠0，求的值．

（山东省中考试颗）

10．已知与的小数部分分别是，，求的值．

（浙江省竞赛试题）

11．设，，为两两不等的有理数．

求证：为有理数．

（北京市竞赛试题）

12．设，都是正整数，且使，求的最大值．

（上海市竞赛试题）

B级

1．已知，为实数，y＝，则5＋6＝_________．

2．已知实数满足，则