初中数学自主招生难度讲义-8年级专题26相对相称——对称分析法.docx

专题26相对相称—对称分析法

阅读与思考

当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想.许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.

对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：

1.代数中的对称式

如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式，表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.

2.几何图形的对称

几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.

例题与求解

【例l】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是.(荆门市中考试题)

解题思路：作M关于AC的对称点，连MN交AC于点P，则PM+PN的值最小.

【例2】已知，均为正数，且，求W=的最小值.

（北京市竞赛试题）

解题思路：用代数的方法求W的最小值较繁，的几何意义是以a，b为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W的最小值.

【例3】已知，求证：（四川省竞赛试题）

解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．

【例4】如图，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，

求证：BC＋AD＞AB＋CD.

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC为对称轴，将部分图形翻折．

【例5】如图，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一点M，N，使BM＋MN的值最小，求这个最小值.（北京市竞赛试题）

解题思路：要使BM＋MN的值最小，应该设法将折线BM＋MN拉直，不妨从作出B点关于AC的对称点入手.

能力训练

1.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴.若∠AFC＋∠BCF＝，则∠AFE＋∠BCD的大小是.(武汉市中考试题)

(第1题图)（第2题图）（第3题图）

2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝2，点E在BC上，且AE＝EC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是.

(济南市中考试题)

3.如图，∠AOB＝，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q，P分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长最小值是.

4.比大的最小整数是.（西安交通大学少年班入学试题）

5.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE＝2，P在BD上，则PE＋PC的最小值为（）.

A．