初中数学自主招生难度讲义-9年级专题09特殊与一般.docxVIP

专题09特殊与一般

——二次函数与二次方程

阅读与思考

二次函数的一般形式是，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际上是关于的二次三项式，若令y=0，则得

这是一个关于的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为：

当时，方程有两个不相等实数根，抛物线与轴有两个不同的交点，设为

A(，0)，B(，0)，其中，是方程两相异实根，;

2.当时，方程有两个相等实数根，抛物线与轴只有一个交点；

3.当时，方程没有实数根，抛物线与轴没有交点．

由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转化，是解相关问题的常用技巧．

例题与求解

【例1】（1）抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若是直角三角形，则=.

（全国初中数学联赛试题）

（2）为使方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为.

解题思路：对于（1），为直角三角形，则A，B两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射影定理解题，对于（2），作出函数图象，借助图象解题．

【例2】设一元二次方程的根分别满足下列条件：①两根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③两根均大于1且小于4．试求实数k的取值范围．

解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助图象找制约条件．

【例3】如果抛物线与轴交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b，

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值，并写出此时抛物线的解析式；

（3）设（2）的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线是否存在一点P，使得面积等于的面积的8倍？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

（南京市中考试题）

解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口．

【例4】设p是实数，二次函数的图像与轴有2个不同的交点A，B．

（1）求证：；

（2）若A，B两点之间距离不超过，求p的最大值．

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：根据题意，方程有两个不同的实数根，，于是，综合运用判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解．

【例5】是否存在这样的实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定的取值范围；如果没有，试述理由．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二次函数交点在2与4之间，应满足的条件，借助函数图象解题．

【例6】设，为正整数，且.如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求，的值．

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：由，得，由条件得，因此不等式对任意实数都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解．

能力训练

A级

1．已知二次函数的图象与轴有两个交点A，B，顶点为C，若△ABC的面积为，则=.

2．把抛物线向上平移个单位，所得抛物线与轴相交于点A(，0)和B(，0)，已知，那么平移后的抛物线的解析式为.（杭州市中考试题）

3．抛物线的图象如图所示．

（1）判断及的符号：

0，0；.

当时，满足的关系式为________________.

4．已知二次函数的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，则的取值范围为.（黑龙江省中考试题）

5．若关于的方程的一个根大于-2，且小于-1，另一个根大于2且小于3，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

（天津市竞赛试题）

6．设函数的图象如图所示，它与轴交于A，B两点，且线段OA与OB的长的比为1:4，则的值为（）

A.8B.-4C.11D.-4或11

7．已知二次函数与轴相交于两点A(，0)，B(，0)，其顶点坐标为P，AB=，若，则与的关系是（）

A.B.

C.