高中数学同步教学 平面向量数量积的坐标表示.pptx

§6平面向量数量积的坐标表示

1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算.2.能运用数量积的坐标表示两个向量的夹角,会用数量积的坐标判断两个平面向量的垂直关系.3.理解直线的方向向量及向量的夹角公式.

1231.平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和,即向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.45答案:B

12345

123名师点拨1.平面向量a,b的夹角θ∈[0°,180°],注意平角与零度角在问题中的特殊作用.2.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1x2+y1y20,则向量a与b的夹角可能是钝角,也可能是平角.45【做一做3】已知a=(3,-1),b=(1,-2),则向量a与b的夹角为()答案:B

123454.两个向量垂直设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.【做一做4】若向量a=(4,2),b=(6,m),且a⊥b,则m的值是()A.12 B.3 C.-3 D.-12解析:由a⊥b,知a·b=0,即24+2m=0,解得m=-12.答案:D

123455.直线的方向向量给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.名师点拨1.同一条直线有无数个方向向量,且它们共线.2.直线方向向量的应用:(1)研究直线的平行;(2)研究直线间的垂直关系;

12345【做一做5】已知直线l1的一个方向向量为a=(-1,3),直线l2的一个方向向量为b=(1,k),且l2过点(0,5),l1⊥l2,则l2的直线方程为()A.x-3y+15=0 B.x-3y+5=0C.x+3y-5=0 D.x-3y-15=0解析:∵l1⊥l2,∴a⊥b.∵a=(-1,3),b=(1,k),即x-3y+15=0.答案:A

题型一题型二题型三题型四【例1】已知向量a=(1,2),b=(3,4),求a·b,(a-b)·(2a+3b).分析:(1)利用平面向量数量积的坐标表示可直接求a·b.(a-b)·(2a+3b)可以先展开再求值,也可先求(a-b)及(2a+3b)的坐标,再求值.解:(方法一)∵a=(1,2),b=(3,4),∴a·b=1×3+2×4=11,(a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=2|a|2+a·b-3|b|2=2×(12+22)+11-3×(32+42)=-54.(方法二)∵a=(1,2),b=(3,4),∴a·b=1×3+2×4=11.又a-b=(1,2)-(3,4)=(-2,-2),2a+3b=2(1,2)+3(3,4)=(11,16),∴(a-b)·(2a+3b)=(-2)×11+(-2)×16=-54.题型五

题型一题型二题型三题型四反思1.涉及向量数量积的坐标表示,一般利用公式a·b=x1x2+y1y2求解,其关键是确定向量a,b的坐标.2.若题目中涉及图形的数量积运算,则要充分利用两点间的距离公式求出向量的坐标,再由向量的坐标求得数量积.题型五

题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知向量a与b同向,且b=(1,2),a·b=20.(1)求向量a的坐标;(2)若c=(2,1),求(b·c)a.分析:由a与b同向,可设出向量a的坐标,再由a·b=20列方程,求出向量a的坐标.解:(1)∵a与b同向,又b=(1,2),∴可设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),且λ0.又由a·b=20,得1·λ+2·2λ=20,解得λ=4,∴a=(4,8).(2)∵b·c=1×2+2×1=4,∴(b·c)a=4(4,8)=(16,32).题型五

题型一题型二题型三题型四【例2】已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1).(1)求a-2b及其模的大小;(2)若c=a-(a·b)b,求|c|.分析:(1)将已知向量的坐标代入运算即可;(2)主要是利用a·b=x1x2+y1y2求得c的坐标,然后求模的大小.解:(1)∵a=(3,5),b=(-2,1),∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),反思本题是平面向量的数量积和模的基本运算,只要记熟公式就不难求解.题型五

题型一题型二题型三题型四解:由条件,知2a+kb=(6-2k,10+k).题型五

题型一题型二题型三题型四【例3】若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()分析:先求出2a+b与a-b的坐标,再套用夹角公式求解.解析:由题意,得2a+b=(3,3),a-b=(0,3).设所求夹角为θ,则答案:C题型五

题型一题型二题型三题型四2.求向量a与b的夹角θ的步骤:(1)求