8.6.1 直线与直线垂直（练习）高中数学人教A版必修第二册.docx

8.6.1直线与直线垂直

一、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

1．下列三个说法

①若直线相交，相交，则相交；

②若，则与所成的角相等；

③若，则．

其中正确的个数是()

A．3 B．2 C．1 D．0

2．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为()

A． B． C． D．

3．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是()

A．60°B．75°C．90°D．105°

4．(多选)如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝eq\r(2)AA1，E，F分别为AB，BC的中点，则下列说法正确的是()

A．直线A1E与直线C1F异面

B．直线A1E与直线C1F共面

C．异面直线AA1与C1F所成的为45°

D．异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为eq\f(\r(2),3)

二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)

5．如图，在四面体A—BCD中，AC＝BD＝a，对棱AC与BD所成的角为60°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为________．

6.我国古代《九章算术》里记载了一个求“羡除”体积的例子．羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．小明仿制羡除裁剪出如图所示的纸片,在等腰梯形中，，在等腰梯形中，，将等腰梯形沿折起，使，则五面体中异面直线与所成角的余弦值为。

三、解答题(每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

7．如图，直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝eq\f(π,2)，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．

(1)求直三棱柱A1B1C1-ABC的体积；

(2)求异面直线BM与B1C1所成的角的余弦值．

8．在空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(5)，求证：AB⊥CD．

9．如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长．

10．如图，已知点P在圆柱的底面上，，，，分别为，的直径，且．圆柱的体积，，．

（1）求三棱锥的体积.

（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

参考答案：

1．答案：C

解析：①错误，若直线相交，相交，则异面、平行、相交都有可能；

②正确，根据平面内两条直线的夹角和异面直线所成的角的定义知②正确；

③错误，若，则异面、平行、相交都有可能．

只有②正确，故选C．

2．答案：B

解析：如图，因为，

所以与所成的角为．

在中，设，则，

则，

所以异面直线与所成角的正切值为．

故选B．

3．选C．设BB1＝1，

如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以AC22＝AB12＋B1C22，则∠AB1C2＝90°．

4．选BCD．如图，连接A1C1，AC，EF，则A1C1∥AC，EF∥AC，

所以EF∥A1C1，所以A1E与C1F共面．

因为AA1∥CC1，所以∠FC1C为异面直线AA1与C1F所成的角．

因为AB＝eq\r(2)AA1，显然∠FC1C=45°，

所以异面直线AA1与C1F所成的角为45°．

连接DC1，DF，则DC1∥AB1，

所以∠DC1F为异面直线AB1与C1F所成的角．

因为AB＝eq\r(2)AA1，ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱，E，F分别为AB，BC的中点，

设AA1＝eq\r(2)，

则AB＝2，C1D＝eq\r(6)，C1F＝eq\r(3)，DF＝eq\r(5)，

所以在△DFC1中，

根据余弦定理，

cos∠DC1F＝eq\f(6＋3－5,2×\r(6)×\r(3))＝eq\f(\r(2),3)．

所以异面直线AB1与C1F所成的角的余弦值为eq\f(\r(2),3)．

5．答案：或eq\f(\r(3),2)a

解析：取BC的中点E，连接EN，EM，

因为M为AB的中点，所以ME∥AC，且ME＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(a,2)，

同理得，EN∥BD，且EN＝eq