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专题05相似之K字型相似

一、方法突破

同样作为模型，但“三垂直”的定位和“手拉”并不相同，“手拉”本身可以作为问题，

而“K字型相似”更多地作为一种方法来运用，因而我们要了解的侧重点也会有所调整，依

然三个问题：

（1）三垂直模型的构成；

（2）什么条件下考虑构造三垂直．

（3）构造三垂直能带来什么；

问题一：三垂直模型的构成

△ABC是等腰直角三角形，一条直线过点C，分别过A、B向该直线作垂线，垂足分别为

D、E，则△ADC≌△CEB．

A

A

E

DD

B

CB

C

E

ÐD=ÐE

ì

ï

证明：íÐDAC=ÐECB→△ADC≌△CEB（AAS）

ï

AC=CB

î

【小结】尝试用文字来描述三垂直模型：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外

两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型．（等腰、直角、作垂直）

【思考】“等腰、直角、作垂直”在证明全等中所发挥的作用是什么？

等腰——可得一组对应边相等；

直角+作垂直——可得两组角对应相等．

【弱化条件】

（1）如果没有等腰？

依然可以构造三垂直，只不过得到的是三垂直相似，而非三垂直全等．

B

A

DCE

如图，有△ADC∽△CEB．

特别地，若点C为BD中点，则△ADC∽△CEB∽△ACB．

B

A

DCE

（2）如果没有直角？

直角与作垂直是配套的，最终的结果是有三个直角，其价值不在于它们是特殊角，而是它们

都是相等的，所以即便没有直角，换成三个相等的角亦可，即“一线三等角”模型

二、典例精析

1.（2018·遵义）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对

ABCDÐABC=120°A

角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长

为．

DC

G

F

AEB

问题二：什么条件下考虑构造三垂直？

根据问题一的分析已经很明显了，可以没有等腰，但需要有直角，当然如果是等腰直角那就

再好不过了．

那看到有直角就考虑构造三垂直？当然也不是，起码问题得和直角相关，并且这个直角是斜

着的．

2.（2018·临安区）如图直角梯形ABCD中，AD//BC，AB^BC，AD=2，BC=3，将

腰以D为中心逆