导热问题的数值解法课件.pptVIP

*導熱問題的數值解法求解導熱問題實際上就是對導熱微分方程在定解條件下的積分求解，從而獲得分析解。隨著電腦技術的迅速發展，對物理問題進行離散求解的數值方法發展得十分迅速，這些數值解法主要有以下幾種：（1）有限差分法（2）有限元方法（3）邊界元方法分析解法與數值解法的異同點：??相同點：根本目的是相同的，即確定①t=f(x，y，z)；②。??不同點：數值解法求解的是區域或時間空間坐標系中離散點的溫度分佈代替連續的溫度場；分析解法求解的是連續的溫度場的分佈特徵，而不是分散點的數值。??數值解法的實質????對物理問題進行數值解法的基本思路可以概括為：把原來在時間、空間坐標系中連續的物理量的場，如導熱物體的溫度場等，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關於這些值的代數方程，來獲得離散點上被求物理量的值。該方法稱為數值解法。????這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理量的數值解。§4-1導熱問題數值求解的基本思想

及內部節點離散方程的建立建立控制方程及定解條件確定節點（區域離散化）建立節點物理量的代數方程設立溫度場的迭代初值求解代數方程是否收斂解的分析改進初場是否物理問題的數值求解過程1二維矩形域內穩態無內熱源，常物性的導熱問題2例題條件（a）（b）xynm(m,n)MN3基本概念：控制容積、網格線、節點、介面線、步長二維矩形域內穩態無內熱源，常物性的導熱問題如圖（a）所示二維矩形域內無內熱源、穩態、常物性的導熱問題採用數值解法的步驟如下：（1）建立控制方程及定解條件針對圖示的導熱問題，它的控制方程（即導熱微分方程）為：（2）區域離散化（確立節點）用一系列與坐標軸平行的網格線把求解區域劃分成若干個子區域，用網格線的交點作為需要確定溫度值的空間位置，稱為節點(結點)，節點的位置用該節點在兩個方向上的標號m，n表示。相鄰兩節點間的距離稱步長。如圖(b)所示。（3）建立節點物理量的代數方程（離散方程）節點上物理量的代數方程稱離散方程。其過程如下：??首先劃分各節點的類型；??其次，建立節點離散方程；??最後，代數方程組的形成。對節點(m,n)的代數方程，當△x=△y時，有：（4）設立迭代初場????代數方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要採用迭代法。採用迭代法求解時，需對被求的溫度場預先設定一個解，這個解稱為初場，並在求解過程中不斷改進。（5）求解代數方程組?求解時遇到的問題：①線性；②非線性；③收斂性等。如圖（b），除m=1的左邊界上各節點的溫度已知外，其餘(M-1)N個節點均需建立離散方程，共有(M-1)N個方程，則構成一個封閉的代數方程組。1）線性代數方程組：代數方程一經建立，其中各項係數在整個求解過程中不再變化；2）非線性代數方程組：代數方程一經建立，其中各項係數在整個求解過程中不斷更新。3）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數方程是否收斂，即本次迭代計算所得之解與上一次迭代計算所得之解的偏差是否小於允許值。（6）解的分析通過求解代數方程，獲得物體中的溫度分佈，根據溫度場應進一步計算通過的熱流量，熱應力及熱變形等。因此，對於數值分析計算所得的溫度場及其它物理量應作詳細分析，以獲得定性或定量上的結論。4建立離散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）級數展開法；(2)多項式擬合法；(3)控制容積積分法；(4)控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)(1)泰勒級數展開法根據泰勒級數展開式，用節點(i,j)的溫度ti,j來表示節點(i+1,j)而溫度ti+1,j用節點(i,j)的溫度ti,j來表示節點(i-1,j)的溫度ti-1,j將上兩式相加可得將上式改寫成的運算式，有同樣可得：表示未明確寫出的級數餘項中的ΔX的最低階數為2?根據導熱問題的控制方程(導熱微分方程)若△x=△y則有得(2)控制容積平衡法(熱平衡法)基本思想：是傅裏葉導熱定律和能量守恆定律的體現。對每個元體，可用傅裏葉導熱定律寫出其能量守恆的運算式。如圖所示，?從節點(m-1,n)通過介面w傳導到節點(m,n)的熱流量：同理：通過介面e,n,s傳導給節點（m,n）的熱流量也可求得（省略）對元體(m,n).