青岛版八年级数学下册专项素养综合练(三)勾股定理在折叠问题中的运用课件.ppt

专项素养综合练(三)勾股定理在折叠问题中的运用

类型一三角形中的折叠问题1.(2024山东菏泽单县期中)如图,有一张直角三角形纸片,直

角边AB=6,BC=8,将△ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为

AD,则BD的长为?()?A.6????B.5????C.4????D.3D

解析∵△ABC为直角三角形,AB=6,BC=8,∴根据勾股定理,

得AC=?=10.设BD=x,由折叠可知ED=BD=x,AE=AB=6,∴CE=AC-AE=10-6=4,CD=BC-BD=8-x,在Rt△CDE中,根

据勾股定理,得CD2=CE2+DE2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,∴BD=3.方法解读利用勾股定理在折叠问题中求线段的长的思路:

(1)在折叠问题中注意对应点、对应线段之间的位置关系、

大小关系;(2)寻找或构建直角三角形;(3)利用勾股定理直接

计算或列方程求解.

2.(2023安徽合肥四十七中期中改编)如图,Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在边BC上,沿AD所在直线将△ABD折叠得到△ABD,AD为折痕,AB与边BC交于点E.若∠DEB=90°,则BD的长是?()?A.2????B.3????C.5????D.4C

解析在Rt△ABC纸片中,∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=

10.∵沿AD所在直线,将△ABD折叠得到△ABD,∴BD=DB,

AB=AB=10.如图所示,当∠BED=90°时,C与E重合.∵AB=10,

AC=6,∴BE=4.设BD=DB=x,则ED=8-x.在Rt△BDE中,DB2=

DE2+BE2,即x2=(8-x)2+42,解得x=5,∴BD=5.?

3.(2023山东菏泽巨野期中)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,

BC=6,将△ABC折叠,使点C与AB的中点D重合,折痕交AC于

点M,交BC于点N,则线段CN的长为????.?????

解析∵D是AB的中点,AB=4,∴AD=BD=2.∵将△ABC折叠,

使点C与AB的中点D重合,∴DN=CN.设DN=CN=x,∴BN=BC-

CN=6-x.在Rt△DBN中,由勾股定理,得DN2=BN2+DB2,∴x2=(6-

x)2+22,解得x=?,∴CN=?.

类型二四边形中的折叠问题4.(2024山东菏泽巨野期中)如图,在矩形ABCD中,点E在DC

上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC

=5,则DE的长为?()?A.?????B.?????C.?????D.?B

解析因为四边形ABCD为矩形,所以∠B=∠C=90°,AD=BC

=5,AB=CD=3.因为矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落

在BC边上的F处,所以AF=AD=5,EF=DE.在Rt△ABF中,由勾

股定理,得BF=?=?=4,所以CF=BC-BF=5-4=1.设CE=x,则DE=EF=3-x.在Rt△ECF中,CE2+FC2=EF2,所以x2

+12=(3-x)2,解得x=?,所以DE=3-x=?,故选B.

5.(2023湖北荆州公安期中)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,

点E是BC边上一点,连接AE,把△ABE沿AE折叠,使点B落在点

B处,当△BCE为直角三角形时,CE的长为?()?A.2或6????B.3或6????C.2或5????D.3或5C

解析由折叠可知,∠ABE=∠ABE=90°,AB=AB=6,EB=EB,

根据题意,当△BEC为直角三角形时,有两种情况:①若∠EB

C=90°,则∠ABE+∠EBC=180°,此时点B、A、C在一条直线

上,如图1所示.在Rt△ABC中,AB=6,BC=AD=8,∴AC=?=10.∴CB=10-6=4.设BE=x,则EB=x,CE=8-x,在Rt△CEB中,

∵BE2+BC2=CE2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴BE=3,∴CE=BC-

BE=8-3=5.

??????②若∠BEC=90°,易知点B落在AD边上,如图2所示,此时四边形ABEB为正方形,∴BE=AB=6,∴CE=BC-BE=8-6=2.综上所述,CE的长为5或2.

6.(2024山东潍坊高密期中)(多选题)如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE折叠至△AFE,点D落在正方形内部点F处,延长EF,交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论正确的是?()A.△ABG≌△AFG????B.BG=GCC.∠BAG=∠FCE????D.S△FGC=?ABC

解析在正方形ABCD中,因为AB=6=CD,CD=3DE