初中数学自主招生难度讲义-9年级专题10最优化.pdfVIP

专题10最优化

阅读与思考

数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些

带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之

为最值问题，解最值问题的常见方法有：

1．配方法

2

由非负数性质得ab0．

2．不等分析法

通过解不等式（组），在约束条件下求最值．

3．运用函数性质

对二次函数2，若自变量为任意实数值，则取值情况为：

yaxbxca0

b4acb2

（1）当a0，x时，y最小值；

2a4a

b4acb2

（2）当a0，x时，y最大值；

2a4a

4．构造二次方程

利用二次方程有解的条件，由判别式0确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．

例题与求解

2

3x6x5

【例1】当变化时，分式的最小值是．

x

12

xx1

2

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方

确定最小值．

【例2】已知，且，则22的最小值为（）

y12xy12x16x3y

1927

A.B.3C.D.13

77

（太原市竞赛试题）

解题思路：待求式求表示为关于x(或y)的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变

量x、y的隐含限制．

x213



【例3】fx，在axb的范围内最小值2a，最大值2b，求实数对(a，b).

22

解题思路:本题通过讨论a，b与对称轴x0的关系得出结论．

122

【例4】（1）已知y1xx的最大值为a，最小值b，求ab的值．

2

（“《数学周报》杯”竞赛试题）

（2）求使22取得最小值的实数的值．

x

x48x16

（全国初中数学联赛试题）